jzoj4919 神炎皇

题意

对于有序正整数对(a,b)，求合法数对个数。
一个(a,b)是合法的，当满足以下条件：
a+b<=n,
ab mod (a+b)=0
对于100%的数据n<=100000000000000。

题解

设gcd(a,b)=d,然后
a’=a/d,
b’=b/d.
那么题目要求的是
d(a′+b′)|a′b′d2
(其中x|y是y mod x=0的意思。)
那么消掉一个d,即求满足
(a′+b′)|a′b′d的(a,b)对数。
因为有gcd(a′,b′)=1，
所以gcd(a′b′,a′+b′)=1。

证明：
若xy与x+y有共同质因子p,那么由gcd(x,y)=1得必然有p|x 或p|y。
且p|x+y,因为若p|x与p|x+y同时满足，那么必定会有p|y，与gcd(x,y)=1矛盾。

所以就是求满足(a′+b′)|d的对数
那么我们设k=a′+b′,且要满足kd<=n
因为d>=k,所以易知道k<=n√，这样可以考虑枚举k
因为d<=nk,且d是k的倍数，所以有nk2个合法的d的取值。

现在我们来考虑对于每一个k有多少满足要求的a’+b’=k. 且gcd(a’,b’)=1.
又因为由gcd(a'+b',b')=1，可以推出gcd(a',b')=1，
且满足gcd(a′,b′)=1，可以推出gcd(a′+b′,b′)=1.
所以gcd(a′+b′,b′)=1是gcd(a′,b′)=1的充分必要条件。
那么当a′+b′=k时，互质数对a′,b′的个数显然为φ(k)种。证明略去。
欧拉函数使用线性筛筛出即可，以前的博客里有。