【jzoj4919】【神炎皇】【数论】

题目大意

对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

解题思路

设gcd(a,b)=k，a’=a/k,b’=b/k。

a+b<=n&&a+b|ab=>(a’+b’)k<=n&&(a’+b’)k|a’b’k^2。

gcd(a’,b’)=1=>gcd(a’+b’,a’)=gcd(a’+b’,b’)=1=>gcd(a’+b’,a’b’)=1=>(a’+b’)|k。

(a’+b’)k<=n，(a’+b’)|k=>k<=sqrt(n)，合法的k有n/k/k个。

对于合法的k，a’，b’的组合数只有phi（k）个。

当gcd(a’,k)=1时，gcd(a’,k-a’)=1=>gcd(a’,b’)=1。

当gcd(a’,k)！=1时，gcd(a’,k-a’)！=1=>gcd(a’,b’)！=1。

所以只需枚举k，统计答案即可，phi要用线性筛法求。

code

#include<cmath>#include<cstdio>#include<algorithm>#define LL long long#define min(a,b) ((a<b)?a:b)#define max(a,b) ((a>b)?a:b)#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)using namespace std;int const maxn=1e7;LL n;int p[maxn],phi[maxn+10];int main(){    //freopen("uria.in","r",stdin);    //freopen("uria.out","w",stdout);    freopen("d.in","r",stdin);    freopen("d.out","w",stdout);    scanf("%lld",&n);    LL ans=0;int mx=sqrt(n);    phi[1]=1;    fo(i,2,mx){        if(!phi[i])p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;        fo(j,1,p[0]){            if(i*p[j]>mx)break;            if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);        }    }    fo(k,2,mx)        ans+=n/k/k*phi[k];    printf("%lld",ans);    return 0;}