最长递增子序列

LIS (Longest Increasing Subsequence)

问题描述:

LeetCode 300

给定一个数组，找出其最长递增子序列（LIS，序列不要求连续）。
如数组为\(\{2,1,6,4,5,2,7,4\}\)，则输出应为4（LIS 为\(\{1,2,4,7\}\)）

解法一 （\(O(n^{2})\)）

思路：

使用动态规划思想，由状态方程为 \(dp[i] = max(1, dp[j] + 1)\)).

解释：

\(dp\) 代表以 \(i\) 位置元素结尾的 LIS 的最大长度。
如：输入数组为 \(\{2,1,6,4,5\}\),则 \(dp\) 的生成过程为：\(\{1\}\rightarrow\{1,1\}\rightarrow\{1,1,2\}\rightarrow\{1,1,2,2\}\rightarrow\{1,1,2,2,3\}\)
而对应的 LIS （此时LIS不唯一） 为 \(\{2\}\rightarrow\{1\}\rightarrow\{1,6\}\rightarrow\{1,4\}\rightarrow\{1,4,5\}\)

代码：

public int lis1(int[] arr) {    if (arr == null || arr.length == 0) { // 若输入为空        return 0;    }    int[] dp = new int[arr.length]; // dp存放以i元素结尾的LIS长度    int max = 1;     for (int i = 0; i < arr.length; i++) {        dp[i] = 1; // 至少为1（自己本身）        for (int j = i; j >= 0; j--) {            if (arr[i]  > dp[j]) { // 新元素比最大值还大                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1); // 依次比较                max = Math.max(max, dp[i]); // 取最大值            }        }    }    return max;}

解法二（\(O(nlogn)\)）

思路：

使用二分查找加速运算。

解释：

\(dp\) 代表结尾元素为最小值时长度为 \(i\) 的 LIS。
如：输入数组为 \(\{2,1,6,4,5\}\)，则 \(dp\) 的生成过程为\(\{2\}\rightarrow\{1\}\rightarrow\{1,6\}\rightarrow\{1,4\}\rightarrow\{1,4,5\}\)
只需遍历一次输入数组，且找到长度为 \(i\) 时对应的 LIS 数组的最小末尾（二分查找）即可完成。

代码：

public int lis2(int[] arr) {    /**     * @author: 左程云     */    if (arr == null || arr.length == 0) {        return 0;    }    int[] dp = new int[arr.length]; // LIS长度最大为输入数组长度    dp[0] = arr[0];     int len = 0; // 当前LIS的长度（从0开始）    int low = 0; // 当前LIS的第一位索引    int high = 0; // 当前LIS的最后一位索引    int middle = 0; // 当前LIS中间位置的索引    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {        low = 0;        high = len;        while (low <= high) {            middle = (low + high) / 2;                          if (arr[i] > dp[m]) { // 与中间值比较                low = middle + 1; // 后半部分            } else {                high = middle - 1; // 前半部分            }        }        len = Math.max(len, low);        dp[low] = arr[i];    }    return ++len; // 索引加1为长度}