学习卡尔曼滤波推导笔记系列（1）

最近在研究卡尔曼滤波，就产生了一个想法，想写一个从零基础到理解，再到熟悉卡尔曼滤波的文章，但是好像集中在一个文章里面的可能性比较小，因此一步步来，从数学基础开始，记录我的学习过程，并分享给大家，希望专家能指导其中的错误，也希望通过这种方式，分享自己的学习心得，也希望对大家的学习有所帮助和启示。

所谓的卡尔曼滤波，网上有很多解释，我这里就不赘述，只想说等你理解了事件、概率、随机变量、概率分布、数学期望、方差、协方差（重点）、相关系数、随机过程、平稳随机过程、功率谱密度函数等等，再去看卡尔曼滤波，会理解更加透彻（当然大牛请忽略这些）。其实，卡尔曼滤波（估计）的本质就类似于线性最小方差估计，要理解这个，就必须一步步积累这方面的知识。

所以我从概率论恶补起，发现好多知识已经遗忘。其中，推荐几本教程：概率论与数理统计.浙大版；最优估计理论（刘胜）。

首先我举个例子吧。补一下基础。

首先，什么是随机过程要知道：

好，知道了随机过程概念之后，要想证明这个题目，你肯定要知道什么是平稳随机过程吧？那么他的概念是：

好，知道了平稳随机过程的概念，你发现，什么是均匀分布？所谓的随机变量是什么？这些看似简单的概念往往容易答不上来。别急，往下看：

知道了这些概念之后，我们会发现，这题目的目的其实就是验证其是否满足下面条件：

1）计算X(t)的期望；
2）计算相关函数Rx(t,t+τ)是否只与时间间隔有关。

那么，我们要恶补下期望的概念、特征、计算公式等，注意是随机变量条件下的。

当然，你发现里面的不是单纯的E（x），而是E[X(t)]，你还要知道复函数的期望计算方法：

因此，结合之前说的均匀分布特征的期望计算，可以得到：

而计算Rx(t,t+τ)，你需要知道Rx的计算公式：

我们将上述式子代入之后可以得：

但是后续怎么计算呢？这里可以用三角函数的公式：

然后用随机过程的数学期望特性，和等于期望相加：

这样，结合之前算的期望，就很轻松算出Rx：

到此，该题目证明完毕。我们通过这个简单的题目快速回顾了一下概率论相关知识，包括随机变量的概念和期望计算公式等，对之后卡尔曼滤波的证明打下基础。