网络流24题3 最小路径覆盖问题 洛谷 2764

分析

设所求路径条数为p，所有路径所包含边总数为e，则易得p=n-e（定理1或证明1），要求最小的p就是求最大的e（即使得路径末尾的点数最少）。

现在问题在于如何求最大的e：我们将有向图转化为无向图，有向图的每个点拆成X集i和Y集i’，接下来：
1.若图中存在点i—>j，则二分图中i与i’相连
2.求最大匹配m(e)
3.ans=n-m

定理1：
每一条覆盖路径的边数=覆盖点数-1（即减去了路径末尾的那个顶点）

证明1：
一开始覆盖N个节点的是N条路径，设每个路径为一个集合，则每添加一条边，就合并两个集合（因为是无环图，所以集合内的节点不会互相连接），所以边越多，则集合越少，所以最小路径覆盖仅适合添加一条边能够合并两条路径的题目。

所以可以用网络流，注意输出方案时要注意不能用dfs会爆栈

code

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>#include<string>#include<algorithm>using namespace std;struct arr{    int x,y,w;    int op;    int next;}edge[5000000];int ls[20000];int v[20000];int w[2000001];int f[20000];int queue[2000001];int dis[20000];int vv[20000];int s,t;int n,m,nn;int min1;int ans;void er(int ww){    w[nn]=ww;}void add(int x,int y,int w){    nn++;    edge[nn].x=x;    edge[nn].y=y;    edge[nn].w=w;    edge[nn].op=nn+1;    edge[nn].next=ls[x];    ls[x]=nn;    v[x]=nn;    er(w);    nn++;    edge[nn].x=y;    edge[nn].y=x;    edge[nn].w=w;    edge[nn].op=nn-1;    edge[nn].next=ls[y];    ls[y]=nn;    v[y]=nn;    er(0);}bool bfs(){    memset(dis,-1,sizeof(dis));    memset(queue,0,sizeof(queue));    int head,tail;    head=0; tail=1;    queue[head]=0;    dis[0]=0;    do    {        head++;        int i=ls[queue[head]];        while (i!=0)        {            if ((w[i]>0)&&(dis[edge[i].y]==-1))            {                dis[edge[i].y]=dis[edge[i].x]+1;                tail++;                queue[tail]=edge[i].y;                if (edge[i].y==t)  return true;            }            i=edge[i].next;        }    }while (head<tail);    return false;}bool find(int x,int num){    if (x!=s) min1=min(min1,w[num]);    if (x==t) return true;    for (int i=v[x];i!=0;i=edge[i].next)    {        int x=edge[i].x;        int y=edge[i].y;        if ((dis[x]+1==dis[y])&&(w[i]!=0)&&(find(y,i)))        {            f[x]=y;            w[i]-=min1;            w[edge[i].op]+=min1;            return true;        }    }    return false;}int dinic(){    while (bfs())    {        min1=2000000000;        find(s,0);        ans=ans+min1;    }    bfs();    for (int i=1;i<=n;i++)    {        if (f[i]!=0)        {            int x=i;            do            {                printf("%d ",x);                if (f[x]==0) break;                int y=f[x];                f[x]=0;                x=y-n;            }while (1==1);            printf("\n");        }    }    printf("%d",n-ans); }int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    int x,y;    for (int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        add(x,y+n,1);    }    s=0;    t=n+n+1;    for (int i=1;i<=n;i++)    {        add(s,i,1);    }    for (int i=n+1;i<=n+n;i++)    {        add(i,t,1);    }    dinic();    return 0;}