强连通分量及缩点tarjan算法解析

来源：互联网发布：php tp框架下载编辑：程序博客网时间：2024/05/01 02:22

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有向图强连通分量的Tarjan算法 [有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。 [Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索被搜索到时的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

Low(u)=Min{   DFN(u),（第一次被搜索到）   Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点   DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)（即沿着u搜到v时，发现v已经被搜过了，也就是说形成了一个环）}

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。(实质上就是这个点的整个子树回溯完了，并且下面都是死路)

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

（1，3，4的low都是1，已经说明它们是一个连通分量）

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#include<cstdio>  
using namespace std;  
#define N 100  
#define M 100  
struct Edge  
{  
    int v;  
    int next;  
};  
Edge edge[M];//边的集合  
  
int node[N];//顶点集合  
int instack[N];//标记是否在stack中  
int stack[N];  
int Belong[N];//各顶点属于哪个强连通分量  
int DFN[N];//节点u搜索的序号(时间戳)  
int LOW[N];//u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的序号(时间戳)  
int n, m;//n：点的个数；m：边的条数  
int cnt_edge;//边的计数器  
int Index;//序号(时间戳)  
int top;  
int Bcnt;//有多少个强连通分量  
  
void add_edge(int u, int v)//邻接表存储  
{  
    edge[cnt_edge].next = node[u];  
    edge[cnt_edge].v = v;  
    node[u] = cnt_edge++;  
}  
void tarjan(int u)  
{  
    int i,j;  
    int v;  
    DFN[u]=LOW[u]=++Index;  
    instack[u]=true;  
    stack[++top]=u;  
    for (i = node[u]; i != -1; i = edge[i].next)  
    {  
        v=edge[i].v;  
        if (!DFN[v])//如果点v没被访问  
        {  
            tarjan(v);  
            if (LOW[v]<LOW[u])  
                LOW[u]=LOW[v];  
        }  
        else//如果点v已经被访问过  
            if (instack[v] && DFN[v]<LOW[u])  
                LOW[u]=DFN[v];  
    }  
    if (DFN[u]==LOW[u])  
    {  
        Bcnt++;  
        do  
        {  
            j=stack[top--];  
            instack[j]=false;  
            Belong[j]=Bcnt;  
        }  
        while (j!=u);  
    }  
}  
void solve()  
{  
    int i;  
    top=Bcnt=Index=0;  
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));  
    memset(LOW,0,sizeof(LOW));  
    for (i=1;i<=n;i++)  
        if (!DFN[i])  
            tarjan(i);  
}  
int main()  
{  
    freopen("in.txt","r",stdin);  
    int i,j,k;  
    cnt_edge=0;  
    memset(node,-1,sizeof(node));  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(i=1;i<=m;i++)  
    {  
        scanf("%d%d",&j,&k);  
        add_edge(j,k);  
    }  
    solve();  
    for(i=1;i<=n;i++)  
        printf("%d ",Belong[i]);  
}  
  
</pre><br>  

模板题目：
Strongly Connected Components  Write a program to find the strongly connected components in a digraph.
Format of functions:void StronglyConnectedComponents( Graph G, void (*visit)(Vertex V) );where Graph is defined as the following:
typedef struct VNode *PtrToVNode;struct VNode {    Vertex Vert;    PtrToVNode Next;};typedef struct GNode *Graph;struct GNode {    int NumOfVertices;    int NumOfEdges;    PtrToVNode *Array;};Here void (*visit)(Vertex V) is a function parameter that is passed into StronglyConnectedComponents to handle (print with a certain format) each vertex that is visited. The function StronglyConnectedComponents is supposed to print a return after each component is found.
Sample program of judge:#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MaxVertices 10  /* maximum number of vertices */typedef int Vertex;     /* vertices are numbered from 0 to MaxVertices-1 */typedef struct VNode *PtrToVNode;struct VNode {    Vertex Vert;    PtrToVNode Next;};typedef struct GNode *Graph;struct GNode {    int NumOfVertices;    int NumOfEdges;    PtrToVNode *Array;};Graph ReadG(); /* details omitted */void PrintV( Vertex V ){   printf("%d ", V);}void StronglyConnectedComponents( Graph G, void (*visit)(Vertex V) );int main(){    Graph G = ReadG();    StronglyConnectedComponents( G, PrintV );    return 0;}/* Your function will be put here */Sample Input (for the graph shown in the figure):
4 50 11 22 03 13 2Sample Output:3 1 2 0Note: The output order does not matter. That is, a solution like
0 1 2 3is also considered correct.
int instack[100];int index;int DFN[100];int low[100];int stack[100];int top;void DFS(int u,Graph G,void (*visit)(Vertex V)){DFN[u] = ++index;low[u] = DFN[u];PtrToVNode temphead = G->Array[u];stack[++top] = u;instack[u]=1;while(temphead){int cur = temphead->Vert;if(!DFN[cur]) {DFS(cur,G,visit);if(low[cur]<low[u]) low[u]=low[cur];}else{if(instack[cur] && DFN[cur]<low[u])low[u]=DFN[cur];}temphead = temphead -> Next;}if(DFN[u] == low[u]){int temp;do{temp = stack[top--];visit(temp);instack[temp]=0;}while(temp != u);printf("\n");}}StronglyConnectedComponents( Graph G,void (*visit)(Vertex V)){int V = G->NumOfVertices;for(int i=0;i<V;i++) low[i]=0;for(int i=0;i<V;i++){if(!DFN[i]) DFS(i,G,visit);}}

0 0