背景建模--高斯混合模型

一、原理

    使用统计的方法实现背景建模及运动目标检测是当前目标检测方法中效果较好的一类方法。该类方法利用统计值表征背景，建立背景模型。

    不同的监控场景有着不同的特性，背景模型因此分为单模态和多模态两种。单模态的场景中，每个背景像素点的颜色值分布比较集中，可以用单一分布的概率模型来描述背景；而在多模态的场景中，每个背景像素点的颜色值分布非常分散，需要用多个分布的概率模型相拟合描述背景。在实际的场景中，由于光照变化、背景中轻微扰动(如户外场景中树枝的轻微摇摆)等因素的影响，背景模型往往是多模态的。

    利用高斯混合模型实现背景建模就是用来描述多模态场景的一种方法。该方法能在不断更新背景模型的同时，在新一帧图像中直接检测出属于目标的像素点，减少了计算差分图像和二值化图像等环节，有效地提高了检测速度。算法的基本思想是：对图像中每一个像素点的颜色值建立混合高斯模型，通过一段时间的采样观测，根据各个高斯分布的持续性和变动性的差异，判断哪一个分布更加接近于真实背景，该高斯分布就作为背景模型。如果图像中像素点的颜色值不符合该高斯分布，则被认为是目标点。具体计算方法如下。

    设图像中位置为(x0, y0)的像素点在一段时间内的观测值为：

                                 

    利用多个高斯分布对式2.21中的观测值进行建模，可以得到当前像素点的颜色值概率为：

                                 

    其中，K为高斯分布的个数(通常取3-5);ωi,t,为权重的估计值，即t时刻该像素点属于第i个高斯分布的可能性的大小；μi,t,为t时刻第i个高斯分布的均值；Σi,t为第i个高斯分布的协方差矩阵；η为高斯分布概率密度函数：

                                

    为了计算简便，假定像素点颜色值的三个分量(R,G,B)相互独立，并且具有相同的方差，则式2.23中的协方差矩阵可以写为：

                                         

    这样，就建立起了被观察像素点(x0,y0)颜色值的高斯混合模型。对于输入图像中的像素点(x0,y0,t)，将它的颜色值与已存在的K 个高斯分布相比较，判断其是否和已经存在的高斯分布相匹配，如果匹配，则该像素点为背景点。所谓“匹配”，即满足式2.25。

                                     

    其中，μi,t-1 ,为第i个高斯分布在t−1时刻的均值，TH通常取2.5，σi t-1 ,为第i个高斯分布在t−1时刻的标准偏差。

    如果没有找到匹配的高斯分布，则将输入像素的颜色值作为均值，建立一个新的高斯分布，代替之前K个高斯分布中概率最小、权重最低的分布，该分布具有较大的方差和较低的权重，从而重新建立背景模型。

    如果存在匹配的高斯分布，则背景模型中各个参数进行如下更新：

                                     

   其中，α是模型学习速率，1/α表征了模型参数变化的速率；对于匹配的高斯分布 Mk,t 为1，其余不匹配的高斯分布，M k,t为0；式2.27和式 2.28只针对于匹配的高斯分布，其余不匹配的高斯分布对应的参数保持不变；ρ为参数学习速率，定义为：

                                      

    这样，通过式 2.26--式2.29，就实现了高斯混合模型的更新。高斯混合模型的方法，能够充分表征场景的多模态特性；可以很快适应背景的变化，即使是当场景中有光照变化、小幅度重复运动(如户外场景中树枝的轻微扰动)时，也能检测出运动目标；如果场景中有目标进入，长时间停留而成为背景，高斯混合模型方法同样可以及时地更新背景模型。