UVa 10892 LCM Cardinality (数论+组合数学)

UVa 10892 LCM Cardinality

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题目大意:

输入正整数n(n≤2∗109),统计有多少对正整数a≤b,满足lcm(a,b)=n.输出n和形成的对数.

题目分析:

(想了好一会儿,orz……)

若将数拆分成唯一分解式,可以发现

设a=pk11∗pk22∗...∗pknnb=pk′11∗pk′22∗...∗pk′nn

则有gcd(a,b)=pmin(k1,k′1)1∗pmin(k2,k′2)2∗...∗pmin(kn,k′n)nlcm(a,b)=pmax(k1,k′1)1∗pmax(k2,k′2)2∗...∗pmax(kn,k′n)n

那么显然,对于a和b而言,对于n中存在的某一质因数pi则有max(ka,kb)=kn.
所以

当ka=kn时,0≤kb<kn,共计kn
当kb=kn时,0≤ka<kn,共计kn

则总共为kn∗2+1(+1的原因是还有ka=kb=kn)
当然最后的答案为ans/2+1(只取a≤b情况)

代码:

#include<cmath>#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;int main(){    int n;ll ans;    while(scanf("%d",&n)==1&&n) {        int m=sqrt(n),t=n;ans=1;        for(int i=2;i<=m&&t!=1;i++) if(t%i==0) {            int cnt=0;            while(t%i==0) t/=i,++cnt;            ans*=(cnt*2+1);//指数均为cnt的仅能计算一次         }        if(t>1) ans*=3;        printf("%d %lld\n",n,ans/2+1);//加上a=b=n的情况     }    return 0;}