1-20的两个数把和告诉A，积告诉B，A说不知道是多少，B也说不知道，这时A说我知道了，B说我也知道了，请你猜猜这两个数的和是多少

1~20中选2个数，把这个两个数的和告诉A，2个数的积告诉B。

然后问A知道这两个数是多少吗？A说不知道，再问B知道这两个数是多少吗?B也说不知道。

之后A突然推理出这两个数分别是多少了，并告诉B他知道答案了。
B随后也知道了这两个数是多少了。

请问他们是怎么推理的，这2个数是多少呢？

开头借用了http://blog.csdn.net/u010833547/article/details/53787007的内容。

网上的解答我看过有些，大多都是2,3或者2,4 ；事实上，都漏掉了9,20这个组合。
A，B对话可以分析如下：
1、A说我不知道，解答：形成这个和的组合不止一个！那就先找出都有哪些组合！
2、B说我也不知道，解答：形成这个乘积的组合不止一个！那就先找出都有哪些组合！
同时，将那些组合要么只出现在A中，要么只出现在B中的组合剔除。比如组合对1,4，虽然1,4求和的5可以是1,4、2,3。但是形成的乘积只是是4，组合只有1,4 没有其他的组合，那么1,4组合就要被彻底剔除的。
3、得到剔除后的两个数组，在A形成的数组中，只有一对组合的，就说明，是可选择的结果，但是只有一对组合的有:
[5] => 2,3
[6] => 2,4
[29] => 9,20
[31] => 15,16
[32] => 12,20
这几个组合，但是因为15*16=12*20=240；
所以，如果B手里拿了240这个乘积结果，A手里拿了31或者32他都知道结果，但是B依然不知道组合是15,16和12,20中的哪一个。
所以最后组合应该是：2,3，2,4，9,20。

以下是输出结果：
1、A不知道，那么A拿到的数，形成这样的和的组合不止一个，这是共识，得出以下结果：
Array
(
    [5] => 1,4-2,3
    [6] => 1,5-2,4
    [7] => 1,6-2,5-3,4
    [8] => 1,7-2,6-3,5
    [9] => 1,8-2,7-3,6-4,5
    [10] => 1,9-2,8-3,7-4,6
    [11] => 1,10-2,9-3,8-4,7-5,6
    [12] => 1,11-2,10-3,9-4,8-5,7
    [13] => 1,12-2,11-3,10-4,9-5,8-6,7
    [14] => 1,13-2,12-3,11-4,10-5,9-6,8
    [15] => 1,14-2,13-3,12-4,11-5,10-6,9-7,8
    [16] => 1,15-2,14-3,13-4,12-5,11-6,10-7,9
    [17] => 1,16-2,15-3,14-4,13-5,12-6,11-7,10-8,9
    [18] => 1,17-2,16-3,15-4,14-5,13-6,12-7,11-8,10
    [19] => 1,18-2,17-3,16-4,15-5,14-6,13-7,12-8,11-9,10
    [20] => 1,19-2,18-3,17-4,16-5,15-6,14-7,13-8,12-9,11
    [21] => 1,20-2,19-3,18-4,17-5,16-6,15-7,14-8,13-9,12-10,11
    [22] => 2,20-3,19-4,18-5,17-6,16-7,15-8,14-9,13-10,12
    [23] => 3,20-4,19-5,18-6,17-7,16-8,15-9,14-10,13-11,12
    [24] => 4,20-5,19-6,18-7,17-8,16-9,15-10,14-11,13
    [25] => 5,20-6,19-7,18-8,17-9,16-10,15-11,14-12,13
    [26] => 6,20-7,19-8,18-9,17-10,16-11,15-12,14
    [27] => 7,20-8,19-9,18-10,17-11,16-12,15-13,14
    [28] => 8,20-9,19-10,18-11,17-12,16-13,15
    [29] => 9,20-10,19-11,18-12,17-13,16-14,15
    [30] => 10,20-11,19-12,18-13,17-14,16
    [31] => 11,20-12,19-13,18-14,17-15,16
    [32] => 12,20-13,19-14,18-15,17
    [33] => 13,20-14,19-15,18-16,17
    [34] => 14,20-15,19-16,18
    [35] => 15,20-16,19-17,18
    [36] => 16,20-17,19
    [37] => 17,20-18,19
)
注：左边是和，右边是可能的组合。
2、B也说不知道，可以理解为，要形成B得到数的乘积组合也不止一个，结果如下：
Array
(
    [6] => 1,6-2,3
    [8] => 1,8-2,4
    [10] => 1,10-2,5
    [12] => 1,12-2,6-3,4
    [14] => 1,14-2,7
    [15] => 1,15-3,5
    [16] => 1,16-2,8
    [18] => 1,18-2,9-3,6
    [20] => 1,20-2,10-4,5
    [24] => 2,12-3,8-4,6
    [28] => 2,14-4,7
    [30] => 2,15-3,10-5,6
    [32] => 2,16-4,8
    [36] => 2,18-3,12-4,9
    [40] => 2,20-4,10-5,8
    [42] => 3,14-6,7
    [45] => 3,15-5,9
    [48] => 3,16-4,12-6,8
    [54] => 3,18-6,9
    [60] => 3,20-4,15-5,12-6,10
    [56] => 4,14-7,8
    [72] => 4,18-6,12-8,9
    [80] => 4,20-5,16-8,10
    [70] => 5,14-7,10
    [90] => 5,18-6,15-9,10
    [84] => 6,14-7,12
    [96] => 6,16-8,12
    [108] => 6,18-9,12
    [120] => 6,20-8,15-10,12
    [112] => 7,16-8,14
    [126] => 7,18-9,14
    [140] => 7,20-10,14
    [144] => 8,18-9,16
    [160] => 8,20-10,16
    [180] => 9,20-10,18-12,15
    [240] => 12,20-15,16
)
注：左边是乘积，右边是可能的组合。
3、将所有组合中，要么只出现在求和数组的，要么只出现求积数组的组合找出来，
4、将只出现一次的组合在求和数组和求乘积数组剔除，情况如下;
Array
(
    [5] => 2,3（剔除了1,4）
    [6] => 2,4
    [7] => 1,6-2,5-3,4
    [8] => 2,6-3,5
    [9] => 1,8-2,7-3,6-4,5
    [10] => 2,8-4,6
    [11] => 1,10-2,9-3,8-4,7-5,6
    [12] => 2,10-4,8
    [13] => 1,12-3,10-4,9-5,8-6,7
    [14] => 2,12-4,10-5,9-6,8
    [15] => 1,14-3,12-6,9-7,8
    [16] => 1,15-2,14-4,12-6,10
    [17] => 1,16-2,15-3,14-5,12-7,10-8,9
    [18] => 2,16-3,15-4,14-6,12-8,10
    [19] => 1,18-3,16-4,15-5,14-7,12-9,10
    [20] => 2,18-6,14-8,12
    [21] => 1,20-3,18-5,16-6,15-9,12
    [22] => 2,20-4,18-6,16-8,14-10,12
    [23] => 3,20-5,18-7,16-8,15-9,14
    [24] => 4,20-6,18-10,14
    [25] => 7,18-9,16
    [26] => 6,20-8,18-10,16
    [27] => 7,20-12,15
    [28] => 8,20-10,18
    [29] => 9,20
    [31] => 15,16
    [32] => 12,20
)
剔除只出现一次的组合，形成的求和的数组。也就是A相关的数组。
Array
(
    [6] => 1,6-2,3
    [8] => 1,8-2,4
    [10] => 1,10-2,5
    [12] => 1,12-2,6-3,4
    [14] => 1,14-2,7
    [15] => 1,15-3,5
    [16] => 1,16-2,8
    [18] => 1,18-2,9-3,6
    [20] => 1,20-2,10-4,5
    [24] => 2,12-3,8-4,6
    [28] => 2,14-4,7
    [30] => 2,15-3,10-5,6
    [32] => 2,16-4,8
    [36] => 2,18-3,12-4,9
    [40] => 2,20-4,10-5,8
    [42] => 3,14-6,7
    [45] => 3,15-5,9
    [48] => 3,16-4,12-6,8
    [54] => 3,18-6,9
    [60] => 3,20-4,15-5,12-6,10
    [56] => 4,14-7,8
    [72] => 4,18-6,12-8,9
    [80] => 4,20-5,16-8,10
    [70] => 5,14-7,10
    [90] => 5,18-6,15-9,10
    [84] => 6,14-7,12
    [96] => 6,16-8,12
    [108] => 6,18-9,12
    [120] => 6,20-8,15-10,12
    [112] => 7,16-8,14
    [126] => 7,18-9,14
    [140] => 7,20-10,14
    [144] => 8,18-9,16
    [160] => 8,20-10,16
    [180] => 9,20-10,18-12,15
    [240] => 12,20-15,16
)
剔除只出现一次的组合，形成的求乘积的数组。。也就是B相关的数组。

以下是php源代码：

$sumarray=array();//求和的数组
$jiarray=array();//求乘积的数组
for ($index = 1; $index < 21; $index++) {
    for ($index1 = $index+1; $index1 < 21 && $index1>$index; $index1++) {
        $sum=$index1+$index;
        $sumarray[$index.",".$index1]=$sum;
        $jiarray[$index.",".$index1]=$index1*$index;
    }
}


$sumarraytemp=array_flip($sumarray);
$jiarraytemp=array_flip($jiarray);
$sumequal=array();//存储同一个和时可能的组合
$jiequal=array();//存储同一个乘积时可能的组合
//求同一个和时可能的组合
foreach ($sumarraytemp as $key => $value) {
    foreach ($sumarray as $key1 => $value1) {
        if($key==$value1)$sumequal[$key]= isset($sumequal[$key])?$sumequal[$key]."-".$key1:$key1;
    }
}
//求同一个乘积时可能的组合
foreach ($jiarraytemp as $key => $value) {
    foreach ($jiarray as $key1 => $value1) {
        if($key==$value1)$jiequal[$key]=  isset($jiequal[$key])?$jiequal[$key]."-".$key1:$key1;
    }
}
//同一个和时，只有一种组合的去掉。
foreach ($sumequal as $key => $value) {
    if(strpos($value,"-")<1)unset ($sumequal[$key]);
}
//同一个积时，只有一种组合的去掉。
foreach ($jiequal as $key => $value) {
    if(strpos($value,"-")<1)unset ($jiequal[$key]);
}


print_r($sumequal);
print_r($jiequal);


$allkey=array();//存储每一种组合出现的次数。要么是1次（要么在求和的组合中一次，要么在求乘积的组合中出现一次），要么2次（同时在求和的组合和求乘积的组合中出现）
foreach ($sumequal as $key => $value) {
    if(strpos($value,"-")>0){
        $jivaluetemp1="";
        $jiarray1=  explode("-", $value);
        foreach ($jiarray1 as $key1 => $value1) {
            if(isset($allkey[$value1]))$allkey[$value1]=2;
            else $allkey[$value1]=1;
        }
    }
    else{
        if(isset($allkey[$value]))$allkey[$value]=2;
            else $allkey[$value]=1;
    }
}
foreach ($jiequal as $key => $value) {
    if(strpos($value,"-")>0){
        $jivaluetemp1="";
        $jiarray1=  explode("-", $value);
        foreach ($jiarray1 as $key1 => $value1) {
            if(isset($allkey[$value1]))$allkey[$value1]=2;
            else $allkey[$value1]=1;
        }
    }else{
        if(isset($allkey[$value]))$allkey[$value]=2;
            else $allkey[$value]=1;
    }
}
print_r($allkey);
/**
 * 从已经形成的求和组合中和求乘积组合中将只出现一次的组合剔除。
 */
foreach ($sumequal as $key => $value) {
    if(strpos($value,"-")>0){
        $jivaluetemp1="";
        $jiarray1=  explode("-", $value);
        foreach ($jiarray1 as $key1 => $value1) {
//            if($allkey[$value1]<2)unset ($sumequal[$key]);
            if($allkey[$value1]<2)unset ($jiarray1[$key1]);
        }
        if(count($jiarray1)<1){
            unset($sumequal[$key]);
            continue;
        }
        $sumequal[$key]=  implode("-", $jiarray1);
    }  else {
        if($allkey[$value]<2)unset($sumequal[$key]);
    }
}
foreach ($jiequal as $key => $value) {
    if(strpos($value,"-")>0){
        $jivaluetemp1="";
        $jiarray1=  explode("-", $value);
        foreach ($jiarray1 as $key1 => $value1) {
//            if($allkey[$value1]<2)unset ($sumequal[$key]);
            if($allkey[$value1]<2)unset ($jiarray1[$key1]);
        }
        if(count($jiarray1)<1){
            unset($jiequal[$key]);
            continue;
        }
        $jiequal[$key]=  implode("-", $jiarray1);
    }  else {
        if($allkey[$value]<2)unset($jiequal[$key]);
    }
}
print_r($sumequal);
print_r($jiequal);