博弈小结

1.巴什博弈：

有n粒石子，每次最多取m个，俩个人都不傻，问谁会胜；

当n=m+1时，先手（先取的那一个）必败，因为他最少取一个，剩下的数量肯定是不大于m的，那么第二个人可以一次性取完。

依照这个原理，在取的过程中，可以每次都给对手恰好留够（m+1）个石子，这时对方一定取不完，但是己方一定可以取完(只要不傻）。也就是k=n%（m+1），若k不等于0，说明你下一步可以把k*（m+1)之外的取光，留给对手（m+1）的倍数个石子，必赢。

另一种情况，就是局势已经是（m+1）的倍数个石子了，只要对方不傻，每次都给你留（m+1）的倍数个，你必输。

2.尼姆博奕：

在了解尼姆博弈之前，先了解一下二进制中的异或运算。

所谓异或运算，就是在所有数均化为二进制之后的一种运算，并且是八位，正数不够补零，（负数不够补一），

举个例子：4的二进制是100，八位之后便是00000100；在此基础上介绍异或运算，异或运算又名（+），为什么这样说呢，因为它只加却不进位，比如7异或3，即111(+)011，结果是100，就是1（+）1=0，1（+）0=1；独特的加法运算。

接下来便是尼姆博弈，有n堆石子，每次可以取一堆，或者是一堆中的一部分，谁先取完谁胜。

这里提到奇异局势，就是无论哪一方面对奇异局势最终都会败。比如当n=3时，描述其中一种奇异局势（0，0，0）；

是不是谁面对它都必败（嘿嘿，咱继续），（0，x，x）也是，信不？我取x，他取x，然后我败，，也就是说，谁面对奇异局势，必败。

这个时候，为了胜出，所以就要千方百计的让对方面对奇异局势。

也就是你要在这堆里取某个特定的数目，使其变为奇异局势。假设这个数目为p；

怎么求p呢，这前人的智慧就显得至关重要了，

尼姆老大爷就给我们总结了：

任何奇异局势(a,b,c)都有a （+）b（+） c =0。假设要在c中取石子，那就p=c--a（+）b，（如果c<p，那就换从a或者b中取呗），在此之前，有必要了解一点，一个数异或它自身，结果是0.

3.斐波那契博弈：

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

必败n必须符合斐波那契；

#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<cstring>  #include<algorithm>  #include<cmath>  #include<vector>  #include<string>  #include<map>  #define LL long long  #define N 1000000  #define inf 1<<20  using namespace std;  int fib[50];  int main(){      fib[0]=1;fib[1]=2;      for(int i=2;i<45;i++)          fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];      int n;      while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n){          int i=0;          for(i=0;i<45;i++)              if(fib[i]==n)                  break;          if(i<45)              puts("Second win");          else              puts("First win");      }      return 0;  }  

4.威佐夫博弈：

有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.

重点：

奇异局势下先手必败，非奇异局势下先手必胜；

类似于尼姆博弈的奇异局势，（a，b），怎么判断是不是奇异局势呢？

若两堆物品个数分别为a,b(a<b)，则k=b-a，再判断a是否等于[(b
-a)*( √5+1)/2] 即可得知是否是奇异局势。

5.Nim Staircase博奕:

这个问题是尼姆博弈的拓展：游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上，共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时
可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作，将最后一枚硬币移至地上（0号）的人获胜。

算法：

将奇数楼层的状态异或，和为0则先手必败，否则先手必胜：

不会证明。。。。。。。（TJT).....