Desargues 定理的另一个叙述法

Desargues 定理的另一种叙述法

      在射影几何中有一个公认的漂亮定理叫Desargues 定理，一般书都叙述为：

　　如果两个三角形ABC和A'B'C'对应顶点的连线AA'、BB'和CC' 交于同一点，则它们的三组对应边AB和A'B'交点，BC和B'C'交点、CA和C'A'的交点在同一条直线。如下图所示。

 

 

图 Desargues 定理

这里M是连线相交的点，而PQR是三角形对应边交点所连直线。

       但在Judith等写的：A course in modern geometries 中，则把Desargues定理叙述为：

             如果2三角形从一点透视，则必从一线透视。

   这里，“

从一点透视” 

的说法

好理解，即从透视中心透视，而“

从一线透视

”的说法可能许多人没有听说过。

    实际上，

        “

从一点透视

” 就是 “几根直线交于一点”的意思，此点就叫透视中心。而

        “

从一线透视

” 就是 “几个面平交于一线”的意思，此线就叫透视直线，或透视轴。

   在日常生活中看到的例子就是，视平面与地平面平行，它们交于共同的一条直线，即地平线。而且和地面平行的所有平面，如一平放着的立方体的顶面或底面所在的平面，也会交于地平线。见下图：

   以上立方体共有三组平行边，其中2组分别聚焦在消点1，消点2,而上下底面消失在此2点的连线，消点1，消点2是两个透视中心，而上下底面透视于此2点的连线，即视平线，由于视平面和地平面平行，此视平线也就是地平线。

   这里，立方体的4根垂直边没有消失点，因为它们相互平行，但在射影几何中就说它们同样有共同的交点，这就是垂直方向的无穷远点。这个无穷远点也是一个透视中心。