数据结构与算法分析：树

树

二叉树

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作"左子树"（left subtree）和"右子树"（right subtree）

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n_0，度为2的结点数为n_2，则n_0=n_2+1。

 

 

 

 

二叉查找树

平均查找：O(logn)

平均插入：O(logn)

平均删除（惰性删除）：O(logn)

二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

 

AVL-平衡的二叉查找树

最坏查找：O(logn)

最坏插入：O(logn)

最坏惰性删除：O(logn)

平衡二叉查找树，又称 AVL树。它除了具备二叉查找树的基本特征之外，还具有一个非常重要的特点：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值（平衡因子）不超过1。也就是说AVL树每个节点的平衡因子只可能是-1、0和1（左子树高度减去右子树高度）。

通过单旋转和双旋转操作可以将一个不平衡的二叉查找树转为平衡。

伸展树

所有最坏M次操作时间o(MlogN)

伸展树保证M次操作的序列的最坏摊还运行时间为0(Mlog(N))，伸展树通过展开操作（类似于旋转），将已经查询过的节点放到根节点上，将其相邻的节点也加高高度。

该树仅保证M次的的最坏操作为0(MlogN),但是不保证每一次的操作时间都为logN。

B树

平均操作时间：o(log_mN)，其中m为叉的数量

是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

2.根结点的儿子数为[2, M]；

3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；

4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2],…, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

7.非叶子结点的指针：P[1], P[2],…, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

8.所有叶子结点位于同一层；

如：（M=3）

 

红黑树

所有操作最坏情况：O（logn）

而红黑树，能保证在最坏情况下，基本的动态几何操作的时间均为O（lgn）。

 

ok，我们知道，红黑树上每个结点内含五个域，color，key，left，right。如果相应的指针域没有，则设为NIL。

 

一般的，红黑树，满足以下性质，即只有满足以下全部性质的树，我们才称之为红黑树(近似平衡)：

 

1）每个结点要么是红的，要么是黑的。

2）根结点是黑的。

3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。

4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。

5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。