RMQ问题----ST(Sparse-Table)算法

RMQ 是Range Minimum(Maximum) Query的简称。

给定一个数组a1,a2,a3,a4,a5......设计一个数据结构，支持查询操作Query(L,R) ; 计算min(a1,a2,a3,a5....) 或max(a1,a2,a3,a4.....)

最简单的方法就是遍历查询，时间复杂度是O(n),但是如果数组大，并且查询次数也非常大，那么效率是非常低的。

ST算法：

1.设dp[ i ][ j ]表示从i元素开始 1>>j 个数中的最值

2.求出dp[ i ][ j ]

3.查询Query( x, y)  将 y 转换为 k 

4.答案  max( dp [ x ][ k ] , dp[ y-(1<<k)+1 ][ k ])

有2个需要解决的问题：

1.dp数组如何求

2.查询长度如何转换( y如何转换成 k)

解决方法：

1.dp数组如何求。

当dp[ i ][ j ] 中 j=0 时 ,dp[ i ][ 0 ]  = a[ i ]    (a数组表示待查询的数组)

每个查询区间都可以分成2个小区间( 二分法 )，求出2个小区间的最值，然后取两者的最值即可。同样被分成的小区间可以继续二分，这样就出现的子问题。可以写出状态转移方程：

2.查询长度如何转换( y 如何转换成 k )

y-x+1表示的是x到y的长度 得到等式：

两边同时取对数log2后可求的k的值

下面给出算法的核心代码

//ST(Sparse-Table)算法 void RMQ(){for(int i=1 ;i<=n ;i++)dp[i][0]=a[i]; //注意从j变量在外层，先求短区间 for(int j=1 ;(1<<j)<=n ;j++){for(int i=1 ;i+(1<<j)-1<=n ;i++){dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}}//求k代码 int k = (int)(log(y - x + 1.0) / log(2.0));  //求最值 int ans = max(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k]);

注：有读者可能会疑惑，既然dp[ i ][ j ] 表示从 i 开始 1<<j 个数中的最值，为什么不是直接输出呢。

试想：

如果 给定查询区间 2-4  即第2，3，4号元素，一共有3个元素，求得的 k = 1 (强制转换为int型后)，那么dp[ i ][ k ] 查询的就是2 ，3元素。答案肯定是不对的。而dp [ x ][ k ] 和 dp[ y-(1<<k)+1][ k ]分别查询的是 2，3 和3，4。  去两者的最值，一定是答案。

如果是偶数，那该式还成立吗，假设查询区间是2-5，即第2，3，4，5号元素，k=2。 y-(1<<k) == x ，说明两个查询的区间都是相同的。所以不能直接输出dp[ x ][ k ]。