最短路径

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概述

若图时带权图，则把从一个定点v0到图中其余任何一个顶点vi的一条路径（可能不止一条）上所经过边上的权值之和定义为该路径上的带权路径长度，把带权路径长度最短的那条路径也称为最短路径。

求解最短路径的算法通常都依赖于一种性质，也就是两点之间的最短路径也包含路径上其他顶点间的最短路径。带权有向图G的最短路径问题，一般可分为两类：一是单源最短路径，即求图中某一顶点到其他各顶点的最短路径，可通过经典的Dijkstra算法求解；二是求每一对顶点间的最短路径，可通过Floyd-Warshall算法来求解。

Dijkstra算法求单源最短路径问题

求带权有向图中某个源点到其余各顶点的最短路径，最常用的是Dijkstra算法。该算法设置一个集合S记录已求得的最短路径的顶点，可用一个数组s[]来实现，初始化为0，当s[vi]=1时表示将顶点vi放入S中，初始时把源点v0放入S中。此外，在构造过程中还设置了两个辅助数组：

dist[]：记录了从源点v0到其他各顶点当前的最短路径长度，dist[i]初值为arcs[v0][i].path[]：path[i]表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱节点，在算法结束时，可根据其值追溯得到源点v0到顶点vi的最短路径。

假设从顶点0出发，即v0=0，集合S最初只包含顶点0，邻接矩阵arcs表示带权有向图，arcs[i][j]表示有向边《i,j》的权值，若不存在有向边《i,j》，则arcs[i][j]为∞。Dijkstra算法的步骤如下（不包含path[]的操作）：

1)初始化：集合S初始为{0}，dist[]的初始值dist[i]=arcs[0][i],i=1,2,...,n-1。2)从顶点集合V-S中选出vj，满足dist[j]=min{dist[i] | vi∈V-S},vj就是当前求得的一条从v0出发的最短路径的终点，令S=S∪{j}。3)修改从v0出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径：如果dist[j]+dist[j][k]<dist[k]，则令dist[k]=dist[j]+dist[j][k]。

值得注意的是，如果边上带有负权值，Dijkstra算法并适用。

Floyd算法求各顶点之间最短路径问题

求所有顶点之间的最短路径问题描述如下：已知一个各权值均大于0的带权有向图，对每一对顶点vi!=vj，要求求出去vi与vj之间的最短路径和最短路径长度。

Floyd算法基本思想是：递推产生一个n阶方阵序列，其中A(k)[i][j]表示从顶点vi到顶点vj的路径长度，k表示绕行第k个顶点的运算步骤。初始时，对于任意两个顶点vi和vj，若它们之间存在边，则以此边上的权值作为它们之间的最短路径长度；若它们之间不存在有向边，则以∞作为它们之间的最短路径长度。以后逐步尝试在原路径中加入顶点k（k=0,1,…,n-1）作为中间顶点。如果增加中间顶点后，得到的路径比原路径的长度减少了，则以此新路径代替与路径。算法描述如下：

定义一个n阶方阵序列：A(-1),A(0),...,A(n-1),其中：    A(-1)[i][j]=arcs[i][j]        A(k)[i][j]=Min{A(k-1)[i][j], A(k-1)[i][k]+A(k-1)[k][j]},k=0,1,...,n-1

其中，A(0)[i][j]是从顶点vi到vj、中间顶点是v0的最短路径的长度，A(k)[i][j]是从顶点vi到vj中间顶点的序号不到鱼k的最短路径的长度。

Floyd算法允许权值为负，但不允许有包含带负权值的边组成回路。