子集和问题

子集和问题：

集合s是一个有n个正整数构成的集合{w1，w2，……，wn}，指定正整数c，判断正整数c，判断是否存在S的一个子集S1，使得w∈S1，∑w=c；

若子集和问题有解，则输出子集S1的元素；

1.说明：

设n个元素（正整数）存储在w数组中，应用动态规划设计求解；

目标函数： max(n)∑(i=1)xi wi

约束条件： (n)∑(i=1)xi wi<=c（xi∈{0,1}，c，wi∈N*，i=1，2，……，n）

按构建S1选择每一个元素为一个阶段，共分为n个阶段；

（1）、建立递推关系；

设m（i，j）为集合S1距离c还差j，可取整数编号范围为：i，i+1，……，n的最大和，则：

• 当0<=j< w（i）时，整数w（i）不可选，m（i，j）与m（i+1，j）相同；

• 当j>=w（i）时，有两种选择：不选择整数w（i），这时最大值为m（i+1，j）；选择整数w（i），这时已增加整数w（i），剩余差额为j-w（i），可以选择整数编号范围为i+1，……，n，最大值为m（i+1，j-w(i)）+w（i）；

我们期望的最大值是两者中的最大值，于是有递推关系：

         | m(i+1,j)     0<=j<w(i)                     m（i，j）=         | max(m(i+1,j),m(i+1,j-w(i))+w(i))   j>=w(i)  

以上j与w（i）均为正整数，i=1，2，……，n，所求最优值为m（1，c）；

（2）、递推计算最优值；

for(j=0;j<=c;j++)   m[n][j]=0;for(j=w[n];j<=c;j++)      /*首先计算m(n,j)*/   m[n][j]=w[n];for(i=n-1;i>=1;i--)       /*递推计算m(i,j)*/   for(j=0;j<=c;j++)      if(j>=w[i] && m[i+1][j]<m[i+1][j-w[i]]+w[i])         m[i][j]=m[i+1][j-w[i]]+w[i];      else         m[i][j]=m[i+1][j];printf("%d",m[1][c]);      

（3）、构造最优解；

构造最优解即选择构建集合S1的所有元素；

if(m[i][cw]>m[i+1][cw])    /*其中cw为当前与c差额,i=1,2,n-1*/   选择w[i];else   不选择w[i];if(所选整数和!=m(1,c))   选择w[n];

2.程序设计：

#define N 100#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<time.h>int main(){   int n,c,i,j,s,t,cb,sb,w[N],m[N][10*N];   t=time(0)%1000;   srand(t);            /*随机数发生器初始化*/   printf("请确定S中正整数的个数n: ");   scanf("%d",&n);   printf("已知集合S的%d个正整数为: \n",n);   for(s=0,i=1;i<=n;i++)    /*随机产生n个正整数*/   {      w[i]=rand()%(5*n)+10;      s+=w[i];      printf("%3d",w[i]);   }   printf("\n请指定和c:  ");   scanf("%d",&c);   if(c>s)   {      printf("集合所有整数之和不足，无解!\n");      return;   }   if(c==s)   {      printf("集合所有元素之和为%d!\n",c);      return;   }   for(j=0;j<=w[n];j++)      m[n][j]=0;          /*确定初始条件*/   for(j=w[n];j<=c;j++)      m[n][j]=w[n];   for(i=n-1;i>=1;i--)    /*递推计算m(i,j)*/      for(j=0;j<=c;j++)         if(j>=w[i] && m[i+1][j]<m[i+1][j-w[i]]+w[i])            m[i][j]=m[i+1][j-w[i]]+w[i];         else            m[i][j]=m[i+1][j];   /*得最优值m(1,c)*/   if(m[1][c]!=c)   {      printf("无解！\n");      return;   }   else      printf("所选元素为:");   cb=m[1][c];   for(sb=0,i=1;i<=n-1;i++)    /*构造并输出所选元素*/      if(m[i][cb]>m[i+1][cb])      {         cb-=w[i];         sb+=w[i];         printf("%3d",w[i]);      }   if(m[1][c]-sb==w[n])   {      printf("%d",w[n]);      sb+=w[n];   }   printf(" (%d)\n",sb);}

3.程序运行示例及其注意事项：

请确定S中正整数的个数n: 15已知集合S的15个正整数为: 44 19 19 41 10 35 38 43 43 22 40 69 11 76 29请指定和c:  300子集和问题有解!所选元素为: 43 43 40 69 76 29 (300)

注意：程序设置了二维数组，限制了集合S中的元素不能太多，也不能太大，从而限制了该程序的应用范围；