最小生成树算法---Kruscal算法和Prim算法（入门）

来源：互联网发布：手机淘宝首页大图尺寸编辑：程序博客网时间：2024/06/05 06:27

问题描述

假设现在有n个城市，我们要在城市之间修路，使得我们无论从哪一个城市出发，都能通过某种路线到达另一个城市。在不同的城市之间修路，所需费用也不同，求如果要使得每个城市之间连通，最少的花费是多少。
假设城市是结点，结点间的连线的权重就是费用，我们要求的最小花费所选取的边和所有的结点所构成的就是最小生成树。

算法描述

最小生成树的唯一性
最小生成树不一定是唯一的。
如图下图1，图2，红色的边连接的结点所构成的两种树都是最小生成树。

$图 1$

$图 2$
Kruscal的算法过程
采用贪心的策略，每次从所有边中选取最小的边，限制条件是加入这条边后不能使当前的结点形成回路。
下面图3-图11是Kruscal算法的选取边的过程。

$图 3$

$图 4$

$图 5$

$图 6$

$图 7$

$图 8$

$图 8$

$图 10$

$图 11$
Prim算法过程
同样是采用贪心的策略，第一步任意选取一个结点加入集合A，选择边的时候，选择连接A和其余不再A中点的最小权重的边（和Dijkstra单源最短路算法类似）。
下面图12-图20是采用Prime算法的生成过程。
$图 12$

$图 13$

$图 14$

$图 15$

$图 16$

$图 17$

$图 18$

$图 19$

$图 20$