[BZOJ1185][HNOI2007]最小矩形覆盖(凸包+旋转卡壳)
来源:互联网 发布:endnote 在线数据库 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 03:18
题目描述
传送门
题解
首先先求一个凸包,矩形一定是把这个凸包覆盖掉
猜想:最小矩形的某一边一定和凸包的某一边重合
那么如何来证明呢?
可以用反证法。假设最小矩形不过凸包上的任意一条边,那么凸包最多有4个顶点在矩形上,可分为3种情况
1、凸包有2个顶点在矩形上
假设旋转了外接矩形一个角度,使其与对角线a夹角为
2、凸包有3个顶点在矩形上
设ab边的夹角为r,a与矩形的夹角为p,那么矩形的面积可以表示为
假设a>b那么
3、凸包有4个顶点在矩形上
假设长边为a短边为b
假设r为夹角中的锐角,并且p为锐角且
证明不是很严谨。。似乎还没有感性的理解来的直观?
那么枚举凸包上的边了之后剩下的就需要确定三个边界。
实际上这三个边界可以用三个点来表示,并且这三个点是单调的
这个应该是很显然的吧,对于凸包上的同一条边右边最值、左边最值和点线距一定单峰,每旋转过一条边,这三个点的相对位置一定单调
不过似乎二分/三分更科学一些?
时间复杂度
代码
#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define N 100005const double inf=1e60;const double pi=acos(-1.0);const double eps=1e-8;int dcmp(double x){ if (x<=eps&&x>=-eps) return 0; return (x>0)?1:-1;}struct Vector{ double x,y; Vector(double X=0,double Y=0) { x=X,y=Y; } bool operator < (const Vector a) const { return x<a.x||(x==a.x&&y<a.y); }};typedef Vector Point;struct Line{ Point p; Vector v; Line(Point P=Point(0,0),Vector V=Vector(0,0)) { p=P,v=V; }};Vector operator + (Vector a,Vector b) {return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}Vector operator - (Vector a,Vector b) {return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}Vector operator * (Vector a,double b) {return Vector(a.x*b,a.y*b);}int n,top;double ans;Point p[N],stack[N],squ[N];double Dot(Vector a,Vector b){ return a.x*b.x+a.y*b.y;}double Cross(Vector a,Vector b){ return a.x*b.y-a.y*b.x;}double Len(Vector a){ return sqrt(Dot(a,a));}Vector rotate(Vector a,double rad){ return Vector(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad));}double DisTL(Point P,Point A,Point B){ Vector v=B-A,w=P-A; return fabs(Cross(v,w)/Len(v));}Point GLI(Line l,Line m){ Point P=l.p,Q=m.p; Vector v=l.v,w=m.v,u=P-Q; double t=Cross(w,u)/Cross(v,w); return P+v*t;}void graham(){ sort(p+1,p+n+1); top=0; for (int i=1;i<=n;++i) { while (top>1&&dcmp(Cross(stack[top]-stack[top-1],p[i]-stack[top-1]))<=0) --top; stack[++top]=p[i]; } int k=top; for (int i=n-1;i>=1;--i) { while (top>k&&dcmp(Cross(stack[top]-stack[top-1],p[i]-stack[top-1]))<=0) --top; stack[++top]=p[i]; } if (n>1) --top;}void update(Point A,Point B,Point C,Point D,Point E){ Vector v,w; Line l1,l2,l3,l4; v=B-A; l1=Line(A,v); l2=Line(D,v); w=rotate(v,pi/2.0); l3=Line(C,w); l4=Line(E,w); double x=DisTL(D,A,A+v); double y=DisTL(C,E,E+w); if (dcmp(x*y-ans)<0) { ans=x*y; squ[1]=GLI(l1,l3); squ[2]=GLI(l2,l3); squ[3]=GLI(l2,l4); squ[4]=GLI(l1,l4); }}void rotating(){ if (top==1) { ans=0; for (int i=1;i<=4;++i) squ[i]=stack[1]; return; } if (top==2) { ans=0; squ[1]=squ[2]=stack[1]; squ[3]=squ[4]=stack[2]; return; } int a=2,b=2,c=2; Vector v,w; Line l; for (int i=1;i<=top;++i) { if (a==i) a=a%top+1; v=stack[i%top+1]-stack[i]; w=rotate(v,pi/2.0); l=Line(stack[i%top+1],w); while (a%top+1!=i%top+1&&dcmp(Cross(stack[a%top+1]-stack[i%top+1],w))>=0&&dcmp(DisTL(stack[a%top+1],l.p,l.p+l.v)-DisTL(stack[a],l.p,l.p+l.v))>=0) a=a%top+1; while (b%top+1!=i%top+1&&dcmp(DisTL(stack[b%top+1],stack[i],stack[i%top+1])-DisTL(stack[b],stack[i],stack[i%top+1]))>=0) b=b%top+1; l=Line(stack[i],w); while (c%top+1!=i%top+1&&(dcmp(Cross(stack[c]-stack[i],w))>=0||dcmp(DisTL(stack[c%top+1],l.p,l.p+l.v)-DisTL(stack[c],l.p,l.p+l.v))>=0)) c=c%top+1; update(stack[i],stack[i%top+1],stack[a],stack[b],stack[c]); }}int main(){ scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); graham(); ans=inf; rotating(); printf("%.5lf\n",ans); int st=1; for (int i=2;i<=4;++i) if (dcmp(squ[i].y-squ[st].y)<0||(dcmp(squ[i].y-squ[st].y)==0&&dcmp(squ[i].x-squ[st].x)<0)) st=i; for (int i=st;i<=4;++i) printf("%.5lf %.5lf\n",squ[i].x,squ[i].y); for (int i=1;i<st;++i) printf("%.5lf %.5lf\n",squ[i].x,squ[i].y); return 0;}
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