LA 6030 Infiltration

题意：给你一个包含n个点的有向完全图complete directed graph (n <= 75), 有向边directed edge u -> v 代表 点u 可以控制  点v。每两个点(u,v)之间的关系不是u控制v，就是v控制u(完全图）。你可以直接控制一些点，当你直接控制一个点u的时候，所有被u控制的点也都会被控制。但是这种关系不是transitive可传递的，即如果u控制 v，v控制 z，你选择直接控制u的话，v会被控制但是z不会被控制。让你选择最少的点来直接控制，使得所有n个点都被控制。

方法：IDS 迭代加深搜索，greedy

一道非常有意思的题。前面题意我说的很啰嗦，落实到graph thoery，这道题就是让你求出这个图最小的dominating set （https://en.wikipedia.org/wiki/Dominating_set）。根据wikipedia，对于general的情况求Minimum Dominating Set 是一个computationally difficult的问题。但是本题很特殊，就是本题的图是一个完全有向图，每对点之间都以一条有向边。Intuitively，至少有一个点可以控制至少半数的顶点（包括自身）。证明用pigeonhole principle 鸽巢定理就可以解决，设d(u) 为 顶点u能控制的其他顶点的个数（即除去u自身），那么u每控制一个点v就对应图中一条有向边u->v, 那么 d(1)+d(2)+...+d(n) = 该完全有向图的边数 ＝ n*(n-1)/2。根据鸽巢定理，至少存在一个点u，d(u) >= (n-1)/2。 再加上u点本身，直接控制u，继而能控制的点 至少有(n+1)/2个，即至少n的一半。那么如果我们如此贪心的选择点，一次至少可以控制当前图中一半的点，在接下来的步骤中只考虑没有每控制的，继续贪心。那么我们之多选ceil（log2(n+1))个点就能控制整个图。所以最多不会选超过7个点。所以我们直接搜索答案就好。

当然需要注意，从75个元素中取出7个的组合数大约是2e9，非常大。但是可以想到，如果选择了6个元素之后还是无法控制整个图的话，此时75／2^6 ＝ 1，此时只有一个点没有被控制，我们只需直接选择那个点就好，所以worst case是从75个元素中取6个元素的组合数，大约是2e8（当然不算很小）。

至于如何搜索，注意贪心的策略会有多种选择，并不是每一种都是最优。所以我直接用了Iterative Deepening Search迭代加深搜索，每次加深层数，当然计算时间也非常久, 不知道是不是用了bitset的缘故。

IDS code:

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <iostream>#include <string>#include <vector>#include <stack>#include <bitset>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <set>#include <list>#include <deque>#include <map>#include <queue>#include <fstream>#include <cassert>#include <cmath>#include <sstream>#include <time.h>#include <complex>#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))#define FOR(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)<(c);++(a))#define FORN(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)<=(c);++(a))#define DFOR(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)>=(c);--(a))#define FORSQ(a,b,c) for (int (a)=(b);(a)*(a)<=(c);++(a))#define FORC(a,b,c) for (char (a)=(b);(a)<=(c);++(a))#define FOREACH(a,b) for (auto &(a) : (b))#define rep(i,n) FOR(i,0,n)#define repn(i,n) FORN(i,1,n)#define drep(i,n) DFOR(i,n-1,0)#define drepn(i,n) DFOR(i,n,1)#define MAX(a,b) a = Max(a,b)#define MIN(a,b) a = Min(a,b)#define SQR(x) ((LL)(x) * (x))#define Reset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define fi first#define se second#define mp make_pair#define pb push_back#define all(v) v.begin(),v.end()#define ALLA(arr,sz) arr,arr+sz#define SIZE(v) (int)v.size()#define SORT(v) sort(all(v))#define REVERSE(v) reverse(ALL(v))#define SORTA(arr,sz) sort(ALLA(arr,sz))#define REVERSEA(arr,sz) reverse(ALLA(arr,sz))#define PERMUTE next_permutation#define TC(t) while(t--)#define forever for(;;)#define PINF 1000000000000#define newline '\n'#define test if(1)cerrusing namespace std;using namespace std;typedef vector<int> vi;typedef vector<vi> vvi;typedef pair<int,int> ii;typedef pair<double,double> dd;typedef pair<char,char> cc;typedef vector<ii> vii;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef pair<ll, ll> l4;const double pi = acos(-1.0);const int maxn = 75;bitset<maxn> v[maxn];int n;bitset<maxn> undone;int ans[7];bool idfs(int pos, int cur, int depth){    if (undone.count()==0)  return true;    if (cur == depth)   return false;    for (int i = pos; i < n; ++i)    {        bitset<maxn> extra = undone&v[i];        if (extra.count() == 0) continue;        ans[cur] = i+1;        undone.flip(); undone |= extra; undone.flip();        if (idfs(i+1, cur+1, depth)) return true;        undone |= extra;    }    return false;}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    cin.tie(0);    int kase = 0;    while (cin >> n)    {        ++kase;        rep(i, n)        {            v[i].reset();            char c;            rep(k, n)            {                cin >> c;   v[i][k] = (c=='1');            }            v[i][i] = true;        }        undone.reset();        rep(i, n)   undone[i] = true;        for (int depth = 1; depth <= 7; ++depth)        {            if (idfs(0, 0, depth))            {                cout << "Case " << kase << ": " << depth;                rep(i, depth)   cout << " " << ans[i];                cout << newline;                break;            }        }                    }    }