PE 113 Non-bouncy numbers (dp)

Non-bouncy numbers

Problem 113

Working from left-to-right if no digit is exceeded by the digit to its left it is called an increasing number; for example, 134468.

Similarly if no digit is exceeded by the digit to its right it is called a decreasing number; for example, 66420.

We shall call a positive integer that is neither increasing nor decreasing a "bouncy" number; for example, 155349.

As n increases, the proportion of bouncy numbers below n increases such that there are only 12951 numbers below one-million that are not bouncy and only 277032 non-bouncy numbers below 10¹⁰.

How many numbers below a googol (10¹⁰⁰) are not bouncy?

题意：

非弹跳数

从左往右，如果每一位数字都大于等于其左边的数字，这样的数被称为上升数，比如134468。

同样地，如果每一位数字都大于等于其右边的数字，这样的数被称为下降数，比如66420。

如果一个正整数既不是上升数也不是下降数，我们就称之为“弹跳”数，比如155349。

随着n的增长，小于n的弹跳数的比例也随之增长；在小于一百万的数中，只有12951个非弹跳数，而小于1010的数中只有277032个非弹跳数。

在小于一古戈尔（10100）的数中有多少个非弹跳数？

题解：这题其实组合数学问题，对非弹跳数进行计数。

如果一个数的组成可以看做是从n个数中选k个数的组合情况，我们定义为。

那么定义i(n)和d(n)为位数为n的上升数和下降数的个数。

那么就是:

。

但是我们要排除一些情况，比如11111,22222,33333，这些既是上升数也是下降数的情况。

所以非弹跳数个数T(n)就是：

。

那么结合上面3条公式就是：

进一步化简：

然后简单地写个dp就可以了。