CF - 55D 数位dp + 状压

题意：

求出区间[l,r]中的所有Beautiful Number的数目，如果一个数x可以被它各个数位上的非零数整除，那它就是Beautiful Number。

思路：

很巧妙的一道数位dp，没想出来看题解了。

假设不考虑记忆化搜索，这里可以直接枚举每一位的值来进行计算，这里可以进行状压，利用cnt(1<<8)来保存出现过的位数，每次枚举到pos==-1的时候，就可以判断这个数是否可以被所有出现过的数位整除。

这里有个很关键的一点，需要知道如果z%y==0，那么(x%z)%y==x%y，明白这一点后，发现这里一共需要判断的只有数位上出现2到9这些数，而2到9的最小公倍数是2520，也就是说，对于Beautiful Number，(x%2520)%y==x%y，由此可以想到，我们只要保存x%2520的值就可以了。

这样设计状态dp[pos][cnt][sum]表示pos位且出现的数位状态为cnt且当前数位和是sum的合法数的数目，进行记忆化搜索。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;ll dp[20][(1 << 8) + 10][3000];int a[20];ll dfs(int pos, int cnt, int sum, int limit) {    if (pos == -1) {        for (int i = 2; i <= 9; i++)            if ((cnt & (1 << (i - 2))) && (sum % i)) return 0;        return 1;    }    if (!limit && dp[pos][cnt][sum] != -1) return dp[pos][cnt][sum];    int up = limit ? a[pos] : 9;    ll res = 0;    for (int i = 0; i <= up; i++) {        if (i < 2) res += dfs(pos - 1, cnt, (sum * 10 + i) % 2520, limit && a[pos] == i);        else res += dfs(pos - 1, cnt | (1 << (i - 2)), (sum * 10 + i) % 2520, limit && a[pos] == i);    }    if (!limit) dp[pos][cnt][sum] = res;    return res;}ll solve(ll x) {    int pos = 0;    while (x) {        a[pos++] = x % 10;        x /= 10;    }    return dfs(pos - 1, 0, 0, true);}int main() {    int T;    scanf("%d", &T);    memset(dp, -1, sizeof(dp));    while (T--) {        ll n, m;        scanf("%I64d%I64d", &n, &m);        printf("%I64d\n", solve(m) - solve(n - 1));    }    return 0;}