Lucas定理

Lucas定理:

Cmn≡C⌊mp⌋⌊np⌋Cm%pn%p(mod p)

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证明

首先，我们应该知道

(ji)相当于Cij

且

j|Cij (0<i<j)即j|(ij)

假设n=ap+b,m=up+v

那么原恒等式化为

(ap+bup+v)≡(au)(bv)(mod p)

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那么我们假定一个式子(x+1)k它可以化为∑ki=0(ki)xi等于xk+1+∑k−1i=1(ki)xi,又因为篇首说过j|Cij (0<i<j)就有xk+1+∑k−1i=1(ki)xi≡xk+1 (mod k)也就是说

(x+1)k≡xk+1 (mod k)

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再假定一个式子(x+1)n它等于(x+1)ap+b=(x+1)ap(x+1)b≡(xp+1)a(x+1)b(mod p)
所以

(x+1)n≡∑i=0a(ai)xip∗∑j=0b(jb)xj(mod p)

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设
A=(x+1)n=∑ni=0tixi
B=∑ai=0(ai)xip∗∑bj=0(jb)xj=∑ni=0Tixi

要想A≡B (mod p)
必有ti≡Ti (mod p)

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既然有上面的东西
A中xup+v项系数为(ap+bup+v)
再仔细想想B中xup+v项系数只能是i=u 且 j=v的情况。所以
B中xup+v项系数为(au)(bv)

于是就有

(ap+bup+v)≡(au)(bv)(mod p)即

Cmn≡C⌊mp⌋⌊np⌋Cm%pn%p(mod p)

得证!