code(vs)1169 传纸条(四维dp， 三维dp)

题目描述 Description

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入描述 Input Description

输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出描述 Output Description

输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入 Sample Input

3 3

0 3 9

2 8 5

5 7 0

样例输出 Sample Output

34

数据范围及提示 Data Size & Hint

30%的数据满足：1<=m,n<=10

100%的数据满足：1<=m,n<=50

一般我们求解的是单条路的最大值，如果是单条路的话那就是：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])+mp[i][j];

但是这题是两条路，我们可以扩展一下扩展为四维dp：dp[i][j][k][l] = mp[i][j]+mp[k][l]+max(max(dp[i-1][j][k][l-1],dp[i-1][j][k-1][l]),max(dp[i][j-1][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l]));

代码如下：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>using namespace std;int n,x,y,v,ans,m;int sum=0;int mp[60][60];int dp[51][51][51][51];int main(){    scanf("%d%d",&m,&n);        for(int i = 1; i <= m; i ++)        {            for(int j = 1; j <= n; j ++)                scanf("%d",&mp[i][j]);        }        for(int i = 1; i <= m; i ++)        for(int j = 1; j <= n; j ++)        for(int k = 1; k <= m; k ++)        for(int l = 1; l <= n; l ++)        {        sum = mp[i][j] + max(max(dp[i-1][j][k][l-1],dp[i-1][j][k-1][l]),max(dp[i][j-1][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l]));//两条路的转移路径            if(i == k && j == l)// 排除两条路径的交点            dp[i][j][k][l] += sum;            else            dp[i][j][k][l] += sum+mp[k][l];        }        printf("%d", dp[m][n][m][n]);    return 0;}

如果这样写的话会比较消耗时间，是不是还能优化一下时间和空间，我们可以看到虽然是分两条路dp，但是有一点他们是相同的就是每次走完所在的位置离原点的距离都是相同的，那么就可以通过这一点进行优化，dp[i][j][k], i表示到原点的距离， j表示第一条路径的横坐标，k表示第二条路径的横坐标，那么他们的纵坐标可以用 i-j 和 i-k 表示；这样就进行了优化，下面是代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int main(){    int n, m, mp[55][55], dp[105][55][55];    scanf("%d%d", &n, &m);    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        for(int j = 1; j <= m;j++)        {            scanf("%d", &mp[i][j]);        }    }    dp[1][1][2] = dp[1][2][1] = mp[1][2]+mp[2][1];    for(int i = 2; i <= m+n-2; i++)    {        for(int j = max(1, i+2-m); j<=i+1 && j<=n; j++)        {            for(int k = max(j+1, i+2-m); k<=i+1 && k<=n; k++)            {                dp[i][j][k] = max(max(dp[i-1][j-1][k], dp[i-1][j][k]),max(dp[i-1][j-1][k-1], dp[i-1][j][k-1]))+mp[j][i+2-j]+mp[k][i+2-k];            }        }    }    printf("%d\n", max(dp[n+m-3][n][n-1], dp[n+m-3][n-1][n]));}