最小生成树--Prim算法和Kruskal算法

概述

Prim算法和Kruskal算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。

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Prim算法

基本思想

从单一顶点开始，普里姆算法按照以下步骤逐步扩大树中所含顶点的数目，直到遍及连通图的所有顶点。

1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2. 初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {}；

3. 重复下列操作，直到V_new = V：

   1. 在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合V_new中的元素，而v则是V中没有加入V_new的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

   2. 将v加入集合V_new中，将（u, v）加入集合E_new中；

4. 输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

示例：

 说明不可选可选已选此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。---顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。C, GA, B, E, FD下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。C, GB, E, FA, D算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。CB, E, GA, D, F在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。无C, E, GA, D, F, B这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。无C, GA, D, F, B, E顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。无GA, D, F, B, E, C现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。无无A, D, F, B, E, C, G

算法实现：

#include<iostream>using namespace std;const int INF = 999999;const int MAXV = 10000;int vnum, edgenum, start;// 邻接矩阵 int edge[MAXV][MAXV];// 记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边int lowcost[MAXV];// 标记某点是否加入Vnewint addVnew[MAXV];// 记录V中与Vnew最邻近的点int adj[MAXV];void prim(int start){// 最小生成树的权值 int sumweight = 0;int i, j;int k = 0;for(i=1;i<=vnum;++i){lowcost[i] = INF;adj[i] = start;}// 顶点从1开始 for(i=1;i<=vnum;++i){// 将所有点至于Vnew之外,V之内// 这里只要addVnew对应的值为-1，就表示在Vnew之外lowcost[i] = edge[start][i];addVnew[i] = -1;}// 将起始点start加入VnewaddVnew[start] = 0;adj[start] = start;for(i=1;i<=vnum;++i){// 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理if(start==i)continue;int min = INF;int v = -1;for(j=1;j<=vnum;++j){// 在Vnew之外寻找最短路径if(addVnew[j]==-1 && lowcost[j]<min){min = lowcost[j];v = j;}}if(v!=-1){// 输出新加入的边 cout<<adj[v]<<" "<<v<<" "<<lowcost[v]<<endl;// 将v加Vnew中addVnew[v] = 0;// 计算路径长度之和sumweight += lowcost[v];for(j=1;j<=vnum;++j){if(addVnew[j]==-1 && edge[v][j]<lowcost[j]){// 此时v点加入Vnew 需要更新lowcostlowcost[j] = edge[v][j];adj[j] = v;}}}}// 输出最小生成树的权值 cout<<sumweight<<endl;}int main(){while(cin>>vnum>>edgenum>>start){for(int i=1;i<=vnum;++i){for(int j=1;j<=vnum;++j){if(i==j)edge[i][j] = 0;elseedge[i][j] = INF;}}int p, q, val;for(int i=1;i<=edgenum;++i){cin>>p>>q>>val;edge[p][q] = val;edge[q][p] = val;}prim(start);}return 0;}

测试案例：

输入

7 11 41 2 71 4 52 3 82 4 92 5 73 5 54 5 154 6 65 6 85 7 96 7 11

输出

4 1 54 6 61 2 72 5 75 3 55 7 939

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Kruskal算法

基本思想：

按照权值从小到大选择n-1条边，且保证这n-1条边不形成回路。

首先构造一个只含有n个顶点的森林，然后依照权值从小到大从联通网中选择边加入到深林中，并使森林不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

示例：

要点：

1）对图的所有边按照权值从小到大进行排序

解决方法：采用排序算法进行排序

2）将边添加到最小生成树中时，判断是否形成了回路

解决方法：记录顶点在最小生成树中的终点，然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话会构成回路。

伪代码：

Kruskal(){    对边的权值从小到大进行排序;    初始化每个顶点的终点为它自己;    对于所有的边（u,v）：        找到顶点u的终点x;        找到顶点v的终点y;        如果（x!=y）：            将边(u,v)加入到最小生成树中;            修改顶点u的终点;}

算法实现：

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;// 最大边的数量 const int MAXE = 20000;// 最大顶点的数量const int MAXV = 20000; // 边的结构体 struct edge{int u, v, cost;};// 数组，用来保存所有的边 edge road[MAXE];// 数组，用来保存对应顶点的终点 int endpoint[MAXV];// sort需要的比较函数 bool cmp(const edge &e1, const edge &e2){      return e1.cost<e2.cost;  }// find函数返回顶点x的终点 int find(int x){      if (endpoint[x] == x) return x;      else return endpoint[x] = find(endpoint[x]);  }  // unite函数的结果是将顶点x和顶点y加入到最小生成树中 void unite(int x, int y){      x = find(x);      y = find(y);      // 终点一样则不发生变化     if (x == y) return;      // 否则，修改x的终点为y     else endpoint[x] = y;  }  // init函数的结果是将所有顶点的终点初始化为自己 void init(int vexnum){for(int i=0;i<vexnum;++i)endpoint[i] = i;}int KRUSKAL(int vexnum, int edgenum){// ans用于记录最小生成树的总权值 int ans = 0;// 初始化每个顶点的终点为它自己init(vexnum);//  对边的权值从小到大进行排序sort(road, road+edgenum, cmp);for(int i=0;i<edgenum;i++){          if(find(road[i].u)!=find(road[i].v)){          // 将边(u,v)加入到最小生成树中            // 修改顶点u的终点;            unite(road[i].u, road[i].v);              ans += road[i].cost;          }      }return ans;}int main(){int vexnum, edgenum;cin>>vexnum>>edgenum;for(int i=0;i<edgenum;++i){cin>>road[i].u>>road[i].v>>road[i].cost;}cout<<KRUSKAL(vexnum, edgenum)<<endl;return 0;}

测试案例：

输入

7 110 1 70 3 51 2 81 3 91 4 72 4 53 4 153 5 64 5 84 6 95 6 11

输出

39

参考资料：

维基百科、如果天空不死--博客园、华山大师兄--博客园