矩阵第二章总结笔记

第二章：

目标：学习向量范数、矩阵范数、算子范数的概念、性质与计算

一、向量范数

向量范数

判定条件：正定性、齐次性、三角不等式(两边之和大于第三边）

性 质：0范数为0；三角不等式(两边之差小于第三边）

Holder范数，也即P范数（P>=1)。P范数包括向量1范数、向量2范数、向量无穷范数

Holder不等式：

不同范数的等价性（夹逼定理）。Vn(P)上的任意两个向量范数均等价。

向量范数推广到连续，向量范数的收敛性。

 

二、矩阵范数

矩阵范数判定条件：正定性、齐次性、三角不等式(两边之和大于第三边），则称映射为p(m*n)上的矩阵范数。

矩阵1范数、矩阵2范数（F范数）、矩阵无穷范数公式。

不同范数满足公式则互相容，同一种范数满足公式则自相容。

证明矩阵1范数、矩阵2范数（F范数），G范数，a范数是相容的，通过柯西不等式，放大法（因子放大提取，乘积放大提取，整列放大提取等），围绕着目标不等式进行放大。

证明矩阵无穷不是自相容的。

 

矩阵2范数（F范数）的重要性质：

1）酉不变性  2）2范数与迹tr(A^h*A)的关系  3)矩阵2范数与列向量的求和关系

三、算子范数

通过该公式证明矩阵1范数、矩阵2范数（F范数）分别与向量1范数、向量2范数相容。

算子范数定义公式：

该定理本质上是通过向量范数推出矩阵范数，因此定理的证明是利用向量范数的判决条件来证明的。

 

性质：算子范数本质上是矩阵范数，只不过是最小的（自相容）矩阵范数。算子范数之间是自相容的。

对于给定的（自相容）矩阵范数，通过上述公式，找出对应的向量范数。通过矩阵范数来表征向量范数，因此，证明该向量范数的存在仍通过矩阵范数的判决来证。

 

和算子范数定义证明刚好相反。

性质：矩阵A的特征值小于相容的矩阵范数。（在特征值估计时经常用到）。

 

计算：

1）算子1范数公式，被称为极大列和范数。

2）算子无穷范数公式，被称为极大行和范数。

           二者证明采用夹逼法则。

3）算子2范数（谱范数）

       矩阵最大特征值的绝对值是矩阵A的谱半径。算子2范数是r(A^h*A)的开根号。

  A的正奇异值是(A^h*A)的特征值的模。

性质：

   1. 矩阵A的H、T、共轭的算子2范数都相同（因为A*A^h和A^h*A特征值相同）

   2. 算子2范数与谱半径的关系

   3. 算子2范数的酉不变性。

   4. 算子2范数的约束极值问题、和其它2范数的关系，如下图。