矩阵第三章总结笔记

目标：掌握三角分解、最大秩分解、SVD分解

一、矩阵的三角分解

1.n阶方阵的三角分解

复数域： A=U1*R  （U1是酉矩阵，R upper为上线三角形复矩阵）

A=L*U2  （U2是酉矩阵，Lower为下线三角形复矩阵）

证明主要通过线性无关、施密特正交化知识点来证明。

L，R，U1,U2具有唯一性。

实数域： A=Q1*R  A=L*Q2 （R/L是正线上/下三角实矩阵Q是正交矩阵)

三角分解方法：首先对矩阵求特征向量，继而施密特正交化、单位化，构建正交矩阵Q；计算R矩阵。

设A是正定Hermite矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵，使A=R^H *R。
设A是正定实对称矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵，使A=R^T *R。

证明该推论及其唯一性。

 

2.任意矩阵的三角分解

1）不唯一分解：
行满秩矩阵（rank A=m),分解为m阶酉矩阵与n阶正线上三角复矩阵R的乘积。（即酉矩阵*高矩阵）。
列满秩矩阵（rank A=n),分解为n阶正线上三角复矩阵L与n阶酉矩阵的乘积。（即长矩阵*酉矩阵）。
主要利用将多余向量通过线性无关向量表征的方法证明。
2）唯一分解：
当酉矩阵和行满秩矩阵同型（且均行满秩），则A可唯一地分解为A=UR。
当酉矩阵和列满秩矩阵同型（且均列满秩），则A可唯一地分解为A=LU。
主要通过令酉矩阵为一个具体矩阵法验证。

3）普通分解（非方阵、非单边秩）

证明主要通过初等变换、一次行满秩分解、一次列满秩分解得证。

该方法此处简要学习，为SVD分解学习做准备。

 

二、矩阵的谱分解

1. 单纯矩阵的谱分解

代数重复度（特征多项式对应次数)、几何重复度（特征子空间的维数）。

若矩阵A的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等，则称矩阵A为单纯矩阵。、

单纯矩阵与对角阵相似，有n个线性无关向量，矩阵A可逆。

单纯矩阵可分解为一系列幂等矩阵的加权和。其中，幂等矩阵满足：幂等性、可分离性、可加性。

单纯矩阵的充要条件，k个矩阵Ai满足幂等性、可分离性、可加性。

 

2.正规矩阵及其分解

若n阶复矩阵满足A*A^H =A^H*A，则A为正规矩阵。

正规矩阵与对角阵酉相似（条件更强：不仅线性无关且正交）

若正规矩阵A与B酉相似，则B也是正规矩阵。

Schur定理：A是n阶方阵，存在酉矩阵U，使得A=U*R*U^H.其中，R是一个上三角矩阵且主对角线上的元素为A的特征值

设A正规矩阵且是三角矩阵，则A是对角矩阵。

n阶复矩阵A是正规矩阵的充要条件是A与对角矩阵酉相似。即存在n阶酉矩阵U，使得：

正规矩阵的重要条件是k个矩阵Ai满足：幂等性、可分离性、可加性、正交性。

三、矩阵的最大秩分解

任意矩阵A可分解为列满秩矩阵B和行满秩矩阵的乘积，即A=BD。

最大秩分解步骤：

1. 进行初等行变换，化为行标准形

2. 行标准形矩阵A的非零元所对应的列为矩阵B，非零行则构成D。

当然使用列变换也可以进行最大秩分解，这两种方法也表明最大秩分解不唯一。

 

当然，不同方法得到的BD满足一定的唯一性。（即唯一A+=右逆*左逆=D+ *B+)：

四、矩阵的奇异值分解

A=UBV，则A、B酉等价，并且A、B有相同正奇异值.

 

奇异值分解定理

奇异值分解步骤：

1.求A*A^H的特征值及特征向量

2.构造酉矩阵U

3.构造酉矩阵V。先构造V1,再利用正交性找出V2,从而构造出V。

方法不止一种，自己知道如何手算SVD，熟悉之后充分利用SVD进行工程上的应用。