数学归纳法证明任意两个正整数相等（伪命题）

1.例子引入

  在数学归纳法的使用过程中，必须严格遵守数学归纳法的证明步骤，每个步骤都不能忽略数学归纳法所满足的条件。如果忽略了这些条件，可以引出下面这样的荒谬结果。例如下面这个例子，导致出错的原因究竟是什么呢？

表述一：首先给出一个定义：如果a和b是两个不等的正整数，我们定义max(a,b)是a,b中较大的一个。如果a=b，我们令max(a,b)=a=b。例如max(3,5)=max(5,3)=5，而max(4,4)=4。 现在让An是这样的命题：如果a，b是使max(a,b)=n的任意两个正整数，则a=b。 （显然是伪命题）则用数学归纳法证明： a) 假设Ar成立。设a，b是任意两个使得max(a,b)=r+1的正整数。考虑两个正整数     α=a-1，    β=b-1，    则max(α,β)=r，又由于我们假设Ar成立，因此α=β，由此a=b。因此Ar+1成立。 b) A1显然成立。因为如果max(a,b)=1，则由于a,b假设是正整数，所以都必须等于1。     因此按数学归纳法，An对任意的n成立。 现在如果a和b是两个不管什么样的正整数，用r表示max(a,b)，由于已证明了对任意的n, An是成立的，特别Ar是成立的，因此a=b。 

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  上面这个例子是摘自R .柯朗的《什么是数学》。这个例子还有 另外一个表述方式 ，如下：

表述二：首先给出一个定义：如果a和b是两个不等的正整数，我们定义max(a,b)是a,b中较大的一个。如果a=b，我们令max(a,b)=a=b。例如max(3,5)=max(5,3)=5，而max(4,4)=4。 现在让An是这样的命题：如果a，b是使max(a,b)=n的任意两个正整数，则a=b。 （显然是伪命题）则用数学归纳法证明：a) A1显然成立。因为如果max(a, b)=1，则由于a, b都是正整数，所以必然有a=b=1；b) 假设Ar成立。设a, b是任意两个使得max(a, b)=r的正整数。那么设：    α=a+1，    β=b+1，    则max(α, β)=r+1。又由于Ar成立，因此a=b；由此知α=β，因此A(r+1)成立。由于a和b是任意两个正整数，因此原命题得证。

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2.荒谬解读

  在表述一的证明过程中，a,b是两个任意的正整数，令α=a-1，β=b-1后，α和β未必是正整数（可能为0），所以证明过程不严谨，这是一个很表面的错误。在表述二的证明过程中，这个“表面”错误得到了完善，但最终还是导致了荒谬的结论。所以根本错误还没有找到，还需进一步探索。
  在上面两种证明的过程中，a和b是两个任意的正整数，但α和β是由a和b通过计算得到的，所以α和β都不是真正意义上的“两个任意正整数”。（用过C语言里rand()函数产生随机数的人不难理解，rand()产生的随机数之间是通过指定的算法推算来的，不是真正意义的随机数，被称为“伪随机数”。还有一种理解方式是：我们可以说x是随机数，变化没有任何规律，x相对与任何其他变量都是无规律的。但是x+1，虽然也是实数范围内取值，但是x+1的产生总是依赖x。）

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