堆排序

堆排序的时间复杂度为O(N*logN).

二叉堆定义
二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足两个特性：
1.父结点的键值总是大于或者等于（小于或者等于）任何一个子结点的键值。
2.每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（最大堆或者最小堆）。

当父结点的键值总是大于或者等于任何一个子结点的键值时为最大堆，反之为最小堆。

堆的存储
一般都使用数组来表示堆，（若根节点从0开始，因为数组的初始下标就是0），i结点的父结点的下标就是(i-1)/2，i结点的的左右结点下标分别为2* i+1,2*i+2。

堆的操作-插入删除

堆的插入
每次插入都是将新数据放在数组的最后面，也就是说这个新数据的父结点到根结点必然是一个有序数列，现在只需把新数据插入到这个有序序列中，就类似于直接插入排序。

//i表示插入结点的下标void MinHeapFixup(int a[],int i){    int j,temp;    temp = a[i];    j = (i-1) / 2;    while(j>=0 && i!=0)    {        if(a[j] <= temp)            break;        else        {            a[i] = a[j]; //a[i]是空            i = j; //i,j是相邻两层的结点            j = (i-1) / 2;        }        a[i] = temp;    }}

插入一个新数字：

void MinHeapAddNumber(int a[],int n,int num){    a[n]  = num;    MinHeapFixup(a,n);}

堆的删除
因为堆只能删除第0个数据，为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。

//n是结点的总数，i表示开始调整的结点void MinHeapFixdown(int a[],int i,int n){    int j,temp;    temp = a[i];  //保存要调整的数字    j = 2*i + 1;    while(j<n) //下标最大数比个数小1    {        if(j+1 < n && a[j+1] < a[j])            j++;  //在左右孩子中找最小的        if(a[j] >= temp)            break;        else        {            a[i] = a[j];  //用较小的结点往上移动，替换父结点            i = j;            j = 2*i + 1;        }        a[i] = temp;    }}

删除一个数字：

void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  {      Swap(a[0], a[n - 1]);      MinHeapFixdown(a, 0, n );  }  

堆化数组

void MakeMinHeap(int a[],int n)//n为元素个数{    for(int i=n/2-1;i>=0;i++)        MinHeapFixdown(a,i,n);}

堆排序

void HeapSort(int a[],int n){    for(int i=n-1;i>=1;i--)//最后剩下一个元素的时候不用维护    {        Swap(a[0],a[i]);        MinHeapFixdown(a, 0, i);     }}

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。