数据结构与算法——笔记（1）概念

程序 = 数据结构 + 算法

1.     绪论

1)     逻辑结构

a)     集合结构：同属于一个集合外没有关系

b)    线性结构：元素之间存在一对一关系

c)     树形结构：一对多

d)    图形结构：多对多

2)     物理结构

a)      如何把数据元素存放到计算机的存储器中，针对内存而言，像硬盘、软盘、光盘等外部存储器的数据结构组织通常使用文件结构来描述。

b)      元素的存储结构形式有两种：顺序存储和链式存储。

3)     顺序存储：把数据元素存放在地址连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的。

4)     链式存储：把数据元素存放在任意的存储单元里，这组存储单元可以连续，也可以不连续。并使用一个指针存放数据元素的地址，通过地址找到相关的数据元素的位置。

2.     算法

1)     概念：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有序序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

2)     基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性

a)      输入：——算法具有0个或多个输入。

b)      输出：——至少有一个或者多个输出。输出的形式可以是打印输出或者是返回一个值或者多个值。

c)       有穷性：­——算法在执行有限步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

d)      确定性：——每一个步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

       ——算法在一定的条件下，只有一条执行的路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。

                ——算法的每个步骤都应该被明确的定义而无歧义。

e)      可行性：——算法的每一步都是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

3)     算法设计要求

a)     一个问题有多种解决算法，使用最快捷方便的。

b)    正确性：算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案。

——大体分为四个层次

l  算法程序没有语法错误。

l  算法程序对于合法输入能够产生满足要求的输出。

l  算法程序对于非法输入能够产生满足规格的说明。

l  算法程序对于故意刁难的测试输入都有满足要求的输出结果。

c)     可读性：便于阅读、理解和交流。要做到，机器能执行，自己能看懂，别人也能看的明白。

d)    健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关的处理，而不是产生异常、崩溃和莫名其妙的结果。

e)     时间效率高和存储量低

3.     时间复杂度和空间复杂度

1)     算法效率的度量方法

a)     事后统计方法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法写好的程序运行时间进行比较，从而确定算法的效率。（不推荐使用）

b)    事前分析估算方法：在程序编写前依据统计方法对算法进行估算。

c)     算法的效率取决于：采用的算法方案、编译产生的代码质量、问题的输入规模、机器执行指令的速度。

不考虑软硬件问题，一个程序运行时间依赖于算法的选择和问题输入的规模。

d)    分析一个算法的运行时间时，重要的是考虑基本操作的数量和输入的规模。

e)     函数的渐进增长： 给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n > N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的渐近增长快于g(n)。

判断一个算法的效率是，函数中的常数和其他次要项一般可以忽略。重要的是主项（最高项）的阶数。

判断一个算法的好坏，需要大量数据测试，这样才能得到更加精准的测试结果。

2)     时间复杂度：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n）是关于问题规模n的函数，进而分析T(n）随n的变化情况并确定T(n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n）的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n）是问题规模n的某个函数。这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。 一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

a)     执行的次数==时间

b)    推导大O阶：

l  用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

l  在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

l  如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

c)     常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是

O(1) < O(log_n) < O(n) < O(nlog_n) <O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) <O(nⁿ)

3)     算法空间复杂度：指运行完一个程序所需内存的大小。

a)     固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关。主要包括指令空间（即代码空间）、数据空间（常量、简单变量）等所占的空间。这部分属于静态空间。

b)    可变空间，这部分空间的主要包括动态分配的空间，以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。

c)     一个算法所需的存储空间用f(n)表示。S(n)=O(f(n))　　其中n为问题的规模，S(n)表示空间复杂度。f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

d)    通常的“复杂度”指的是时间复杂度。