POJ 2115 Looooops (扩展欧几里得+调整解)

题目大意：

给出一组数 a b c k，问 a + mc = b（mod 2^k）的解m是多少，若有解，则输出最小正解的大小，若没有，输出FOREVER，表明a永远无法通过加c的方式得到b的值。

解题思路：

根据刚才列出的式子可以很容易的发现，此题可以直接使用扩展欧几里得算法求解，扩展欧几里得算法用于求解形如 ax+by=d=gcd（a,b）的方程，求得的解x和y满足x+y的和最小。

由欧几里得算法可知 gcd（a，b）=gcd（b，a%b）（证明略）
我们可以列出另一个方程：
bx1+（a%b）y2=d=gcd（b，a%b）=gcd（a，b）=ax1+by1
即：bx+（a-a/b*b）y=ax+by
展开可得： a * y2 + （x - a/b*y2）b = a * x1 + b * y1
由等式两边的对应关系可得：y2 = x1 , y1 = x - a/b * y2
由这个过程递推到gcd（a，b）= 1 将产生的 x 和 y 收集起来 即为这个二元一次方程的整数解集。

由上述推导，我们可以构造出一个式子：
x * C + y * 2^k = b - a = p * d = p * gcd( C，2^k)
带入扩展欧几里得算法解出系数即可，注意这里的系数还需要乘上系数，也就是 b-a 是 C，2^k 的最大公约数的正整数倍，所以还需要乘上系数。

题目中有一个坑点：扩展欧几里得算法求解出的系数是满足x+y最小的，而题目中要求我们求出的是 x 的最小值，所以需要在适当的范围内对x的值进行调整使得其成为最小的正整数解。

由于方程的解必须为整数，我们求得的解也为整数，所以应该在解的基础上减去解的分布周期， 由最初始的式子 a * x +ｂ＊ｙ= d 可以发现，在 ax 减小的大小等于 by 增加的大小，这个值刚好是 a b 的最小公倍数，而 a b 的最小公倍数是 a b 的乘积除以最大公约数 d ，即（a * b / d）。这样我们就得到了周期，在调整的过程中要注意，方程求解会得到 x 小于 0 的解，因此只需对负数解的情况稍加判断就可以正确的AC此题了。

希望大家都能快速AC，并搞懂扩展欧几里得内部的证明和原理！

附上代码：

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;typedef long long int lli;lli mi[35];void init(){    mi[0]=1;    for(int i=1;i<=32;i++)        mi[i]=2*mi[i-1];}lli exgcd(lli a,lli b,lli &x,lli &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    lli ans=exgcd(b,a%b,x,y);    lli temp=x;    x=y;    y=temp-a/b*y;    return ans;}int main(){    lli A,B,C,k,x,y;    init();    lli num,key,sum,temp;    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&C,&k),(A+B+C+k))    {        num=B-A;        key=exgcd(C,mi[k],x,y);        if(num<0)            num+=mi[k];        if(num%key!=0)            printf("FOREVER\n");        else        {            temp=mi[k]/key;            sum=x*num /key;            sum %= temp;            while(sum < 0)                sum += temp;            printf("%lld\n",sum);        }    }    return 0;}