贝塞尔曲线(Bezier Curves)

贝塞尔曲线

空间贝塞尔曲线(Spatial B′ ezier Curves)

当贝塞尔曲线的控制点为三维坐标时，即可得到空间贝塞尔曲线。

空间空间贝塞尔曲线任然满足性质：

• 端点插值性质：
• 端点切线定理：
• 凸包性质
• 仿射变换不变性
• 变差缩减性质

微分

1、n 阶贝塞尔曲线的控制函数 Bi,n(t) 的一阶和二阶微分满足：

---

B′i,n(t)=(i−nt)t(1−t)Bi,n(t)

B′′i,n(t)=(i(i−1)−2i(n−1)t+n(n−1)t2t2(1−t)2)Bi,n(t)

B′i,n(t)=n(Bi−1,n−1(t)−Bi,n−1(t))

---

2、n 阶贝塞尔曲线的的一阶微分是：

B′(t)=∑i=0n−1b(1)iBi,n−1(t)

其中：b(1)i=n(bi+1−bi)

3、n 阶贝塞尔曲线的的r阶微分是：

B(r)(t)=∑i=0n−rb(r)iBi,n−r(t)

其中：b(r)i=(n−r+1)∑rj=1(−1)r−jrjbi+j

表达式之间的转换

任意多项式曲线都可以表示成贝塞尔曲线的形式

多项式表达：

a0+a1t+⋯+antn

贝塞尔曲线的形式：

∑i=0nbin!(n−i)!i!(1−t)n−iti=p0+p1t+⋯+pntn

两式相等，即可解出多项式对应的贝塞尔曲线的控制点的坐标。

分段贝塞尔曲线

任意间隔贝塞尔曲线

控制点为 bo,⋯,bn 的任意时间间隔 [tmin,tmax] 的贝塞尔曲线定义为：

B(t)=∑i=0nbiBi,n(t−tmintmax−tmin)

其中：
Bi,n为n阶贝塞尔曲线的基本控制函数
B(t)=∑ni=0biBi,nt∈[0,1] 称为贝塞尔曲线的标准形式

分段贝塞尔曲线

令 I=[a,b] P(t) 为分段贝塞尔曲线

⟺

如果存在 t0<t1<⋯<tr−1<tr 满足 a=t0,b=tr ;任意间隔贝塞尔曲线 Bj(t)t∈[tj,tj+1](j=0,1,⋯,r−1) 满足

(1) P(t)=Bj(t),t∈(tj,tj+1),

(2) P(tj)=Bj−1(tj)或/和P(tj)=Bj(tj)(j=0,1,⋯,r−1),

(3) P(t0)=B0(t0)且P(tr)=Br−1(tr)。

tj 称为断点。若 Bj(t)的最高阶数为n，则称分段贝塞尔曲线的阶数为n。

若分段贝塞尔曲线的两段在连接处的k阶导数连续，称其为几何连续。

有理贝塞尔曲线（Rational B´ezier Curves）

控制点为 bo,⋯,bn 的n阶有理贝塞尔曲线定义为：

B(t)=∑ni=0ωibiBi,n(t)∑ni=0ωiBi,n(t),t∈[0.1]

ωi 不全为零，若 ωi=0，可直接约去，