圆锥曲面

曲面方程

三维空间中的关于\(z\)轴旋转对称的圆锥面由一根与\(z\)轴共面但不平行的直线绕\(z\)轴旋转360度得到. 旋转的过程中直线与\(z\)轴的夹角不变, 用\(\phi\)表示.
曲面上的点的坐标可用参数方程表示:(即极坐标下的曲面方程)
\[\begin{cases}x = \rho * sin\phi * cos \alpha \\y = \rho * sin\phi * sin \alpha \\z = \rho * cos\phi\end{cases}\]
里面的自由参数有两个:\(\rho, \alpha\). 若\(\phi\)也是一个自由参数, 则得到的是一个体, 而非面了.

换成直角坐标系:
\[z = \sqrt{x^2 + y^2}\cot \phi \]
\(\phi\)不能为\(\frac {\pi}{2}\).

可视化

极坐标和直角坐标提供了两种不同的思路.

1. 直角坐标

   phi = pi/6;a = -pi:.05*pi:pi;r = 0: .1: 2;[A, R] = meshgrid(a, r);#xoy平面上的极坐标X = R.* cos(A);Y = R.* sin(A);Z = cot(phi) * sqrt(X.^2 + Y.^2);surf(X, Y, Z);

2. 极坐标

   figure;phi = pi/6;rho = 0 :  .1 : 4;a = -pi:.05*pi:pi;[A, Rho] = meshgrid(A, rho);X = Rho.*sin(phi).*cos(A);Y = Rho.*sin(phi).*sin(A);Z = Rho.*cos(phi);surf(X, Y, Z);

两段代码画的是同一个锥面: