Dirac Delta Function

也称为Degenerate pdf, 退化概率密度函数. 未经考证的解释是: 当正态分布的\(\sigma \to 0\)时, 正态分布就退化为这个分布了.

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定义

\[\delta(x) = \begin{cases}0, x \neq 0 \\\infty, x = 0\end{cases}\]
因为是由正态分布退化而来的概率密度函数:
\[\int _{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1\]
(不知道如何严格的证明)

Sifting Property

(TODO, 译为筛选性质?)
\[\int _{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x - \mu) dx = f(\mu)\]
证明如下:
令\(t = x - \mu, x = t + \mu\), 得:
\[\int _{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x - \mu) dx = \int _{-\infty}^{+\infty} f(t + \mu)\delta(t) dt = \int _{-\epsilon}^{+\epsilon} f(t + \mu)\delta(t) dt = f(\mu)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = f(\mu)\]
其中, \(\epsilon \to^+ 0\). 看来, \(f(x)\)还得在\((-\epsilon, +\epsilon)\)邻域内连续.