【李木华】二叉树的一般概念

二叉树的定义

  一棵二叉树（binary tree）有结点（node）的有限集合组成，这个集合或者为空（empty），或者有一个根节点（root）及两个棵不相交的二叉树组成，这两颗二叉树分别称为这个根结点的左子树（left subtree）和右子树（right subtree）。如下图如所示：

* 结点M的深度（depth）就是从根节点到M的路径长度。
* 树的高度（height）等于最深结点的深度加1。
* 任何深度为d的结点的层数（level）都为d。
* 根结点层数为0，深度也为0。
* 没有非空子树的结点称为叶结点（leaf）。至少有一个非空子树的结点称为分支结点或内部结点（internal node）。
* 满二叉树（full binary tree）：满二叉树的每一个结点或者是一个分支结点，并恰好有两个非空子结点或者是叶结点。如下图：

• 完全二叉树（complete binary tree）：从根结点起每一层从左至右填充。一棵高度为d的完全二叉树出了d-1层以外，每一层都是满的。底层叶结点集中在左边的若干位置上。如下图：
  

满二叉树定理：

• 定理一：非空满二叉树的叶结点数等于其分支结点数加1。
• 定理二：一棵非空二叉树空子树的数目等于其结点数目加1。

二叉树的ADT：

template<typename E>class BinNode{public:    virtual ~BinNode() {}    virtual E& element() = 0;                 //返回当前结点的值    virtual void setElement(const E&) = 0;    //设置当前结点的值    virtual BinNode* left() const = 0;        //返回左子结点    virtual void setLeft(BinNode*) = 0;       //设置左子结点    virtual BinNode* right() const = 0;       //返回右子结点    virtual void setRight(BinNode*) = 0;      //设置右子节点    virtual bool isLeaf() = 0;                //判断是否为叶结点};

遍历二叉树：

• 按照一定顺序访问二叉树的结点，称为遍历（traversal）。
• 对每个结点都进行一次访问并将其列出，称为二叉树节点的枚举（enumeration）。
• 遍历分为前序遍历、中序遍历和后续遍历。

以下图为例：

• 前序遍历（preorder traversal）：先访问结点，然后访问其子节点。即ABDCEGFHI。
• 中序遍历（inorder traversal）：先访问左子结点（包括整棵子树），然后访问该节点，最后访问右子节点（包括整棵子树）。即BDAGECHFI。
• 后序遍历（postorder traversal）：先访问节点的子节点（包括它们的子树），然后再访问该节点。即DBGEHFICA。

Copyright© by 李木华
Date:2017.1.18