【poj 1190 生日蛋糕】【DFS+剪枝经典题】

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题目

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。
令Q = Sπ
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。
（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

Input
有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output
仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input
100
2

Sample Output
68

Hint
圆柱公式
体积V = πR2H
侧面积A’ = 2πRH
底面积A = πR2

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题意

R1 * R1 * H1 + R2 * R2 * H2 + …… + Rn * Rn * Hn = N
2 * R1 * H1 + 2 * R2 * H2 + …… + 2 * Rn * Hn + Rn * Rn = S
1<=n<=20 ，Ri > Ri+1，Hi > Hi + 1，所有都为整型数。
已知N，M(层数)，然后求符合的S的最小值。

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题目分析

显而易见的两个剪枝：

• 剪枝一 比较容易想到的剪枝是从蛋糕的构造上来考虑，由于Ri > Ri + 1，Hi > Hi + 1的限制，对蛋糕的体积下限有很高的要求（K层的蛋糕体积最小）。
  显然，下层的蛋糕半径和高不能太大，否则剩下的体积就无法构造一个余下几层的蛋糕。

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第三个剪枝：
看讨论时，看到一个神剪枝

2 * leftVolume / r + currentS >= min

currentS代表“已有的圆柱的侧面积之和 + 最底下圆柱的横截面面积”。min代表已得到的最小表面积。

假设只有一个圆柱，该圆柱的半径为r，体积为leftVolume，
那么根据体积和表面积公式，可知：2 * leftVolume / r 是该圆柱的侧面积。

现在我们有2个圆柱，要求这两个圆柱叠在一起之后满足题目的条件：下柱半径 > 上柱半径。
把上柱压扁，压到和下柱的半径相等，那么根据表面积和体积公式，我们知道上柱的侧面积会减小。

多个圆柱叠立，假设最下面圆柱半径最大，该半径为r。
于是，这些圆柱的侧面积之和 >= 等体积的半径为r的圆柱的侧面积。

回到该剪枝。假设还有k层柱要搜索，leftVolume是剩余体积，r是第k层的圆柱的最大可能半径。
那么2 * leftVolume / r <= k层圆柱的最小侧面积之和。

所以，当2 * leftVolume / r + currentS >= min时，就没必要再往下搜了。

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代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxm = 25;const int inf = 0x3f3f3f3f;int mins[maxm], mind[maxm];int n, m, ans;void init(){    mins[0] = mind[0] = 0;    for (int i=1; i<maxm; ++i){        mins[i] = mins[i-1]+2*i*i;        mind[i] = mind[i-1]+i*i*i;    }}void dfs(int cur, int r, int h, int s, int d){    if (cur == m){        if (d==n && s<ans)            ans = s;        return ;    }    int ld = n-d;    for (int i=r-1; i>=m-cur; --i){        int maxh = (ld-mind[m-cur-1])/(i*i);        if (maxh > h-1)            maxh = h-1;        for (int j=maxh; j>=m-cur; --j){            int td = ld-i*i*j;            if (td < mind[m-cur-1])                continue;            int ts;            if (cur == 0)                ts = i*i+2*i*j;            else                ts = s+2*i*j;            if (ts+mins[m-cur-1]>=ans || ts+2*td/i>=ans)                continue;            dfs(cur+1, i, j, ts, d+i*i*j);        }    }}int main(){    init();    while (~scanf("%d%d", &n, &m)){        ans = inf;        int maxh = (n-mind[m-1])/(m*m);        int maxr = sqrt(1.0*(n-mind[m-1])/m);        dfs(0, maxh, maxr, 0, 0);        printf("%d\n", inf==ans ? 0 : ans);    }    return 0;}