加法定理的纯分析证明;周期性的纯分析证明



2012.4.16
y''=-y在初值条件：y(0)=sina,y'(0)=cosa下的唯一特解为y=sin(x+c)=c_1sinx+c_2cosx。
将初值代入得：c=a,c_1=cosa,c_2=sina，
故得sin的加法定理：sin(x+a)=cosasinx+sinacosx。
2012.4.15
sin的加法定理<=>arcsin的加法定理
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
(<=>sin(x+y)=asqrt(1-b^2)+sqrt(1-a^2)b)
(<=>x+y=arcsin(asqrt(1-b^2)+sqrt(1-a^2)b))
<=>arcsina+arcsinb=arcsin(asqrt(1-b^2)+sqrt(1-a^2)b))
(<=>sin(x+y)=sinxsqrt(1-sin^2y)+sqrt(1-sin^2x)siny)
其中arcsina=x,arcsinb=y,a=sinx,b=siny。
2012.4.22
sin的加法定理<=>cos的加法定理：
sin(x+a)=sinxcosa+cosxsina<=>cos(x+a)=cosxcosa-sinxsina
[
恒等式两边d/dx：sin(x+a)=sinxcosa+cosxsina=>cos(x+a)=cosxcosa-sinxsina
恒等式两边求不定积分：cos(x+a)=cosxcosa-sinxsina=>sin(x+a)=sinxcosa+cosxsina+c
令a=0，得c=0。
]
arcsin:[-1,1]->[-pi/2,pi/2]：
arcsin(0)=0,arcsin(1)=pi/2,arcsin(-1)=-pi/2
sin(0)=0,sin(pi/2)=1=>cos(0)=1,cos(pi/2)=0
用sin和cos的加法定理证明sin和cos周期性：
sin(x+pi/2)=sinx·0+cosx·1=cosx
cos(x+pi/2)=cosx·0-sinx·1=-sinx
=>sin(x+pi)=cos(x+pi/2)=-sin(x)
cos(x+pi)=-sin(x+pi/2)=-cosx
=>sin(x+2pi)=-sin(x+pi)=sin(x)
cos(x+2pi)=-cos(x+pi)=cos(x)
sin,cos不具有虚周期的证明：
exp:(-∞,+∞)->(0,+∞)是单调递增函数
sh:(-∞,+∞)->(-∞,+∞)是单调递增奇函数
ch:(-∞,+∞)->[1,+∞)是非周期的偶函数
=>sin(iy)=ishy=i(e^y-e^(-y))/2在y=(-∞,+∞)上是非周期的
cos(iy)=chy=(e^y+e^(-y))/2在y=(-∞,+∞)上是非周期的
故sin,cos均为单周期函数
依葫芦画瓢
2012.4.22
y '=y在初值条件y(0)=exp(a)下的唯一特解为y=exp(x+a)=cexp(x)
将初值代入得c=exp(a)
即得exp的加法定理：exp(x+a)=exp(x)exp(a)
y'=1/x在初值条件y(0)=ln(a)下的唯一特解为y=ln(ax)=ln(x)+c
将初值代入得c=ln(a)
即得ln的加法定理：ln(ax)=ln(x)+ln(a)
(阿贝尔函数的加法定理<=>阿贝尔积分的加法定理)
exp的加法定理<=>ln的加法定理
exp(x+y)=exp(x)exp(y)
(<=>exp(x+y)=ab)
(<=>x+y=ln(ab))
<=>lna+lnb=ln(ab))
(<=>exp(x+y)=exp(x)exp(y))
其中lna=x,lnb=y,a=exp(x),b=exp(y)。
exp(iy)=cosy+isiny=>exp(iy)在(-∞,+∞)上具有周期性，而exp(x)在(-∞,+∞)上不具有周期性
故exp具单周期性。