【JZOJ3892】【NOIP2014模拟10.25A组】放棋子

Description

Data Constraint

Solution

这又是一道组合数的题。我们枚举现在至少有x行y列没有放至少一个棋子，那么要选择这x行y列的方案显然为CxN∗CyM，由于剩下的N-x行和M-y列需要放棋子，这些棋子有c+1种颜色（我们把不放棋子视为第c+1种颜色），且除了第c+1种颜色，其他颜色不能为空。这就让人想到了第二类Stirling，我们设f[i][j]表示有i个棋子填入j种无差别颜色的方案，那么f[i][j]=f[i−1][j−1]+j∗f[i−1][j]。但题目内的颜色是有差别的，所以，对于第c+1种颜色不为空的情况，显然有f[(N-x)* (M-y)][c+1]* (c+1)!,对于第c+1种颜色为空的情况，显然有f[(N-x)*(M-y)][c]*c!，相加即可。至少有x行y列没有放至少一个棋子的方案为CxN∗CyM∗(f[(N−x)∗(M−y)][c]∗c!+f[(N−x)∗(M−y)][c+1]∗(c+1)!)。
但注意，我们的定义是至少有x行y列，所以会有重复的情况，这时就需要容斥一下，所以是最后就为ans=∑Nx=0∑My=0(−1)x+y∗CxN∗CyM∗(f[(N−x)∗(M−y)][c]∗c!+f[(N−x)∗(M−y)][c+1]∗(c+1)!)

Code

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;const ll mo=1e9+7,maxn=403;int f[maxn*maxn][maxn];ll c[maxn];ll n,m,i,t,j,k,l,p,ans,x,y,z;ll mi(ll x,ll y){    if (y==1) return x;    ll t=mi(x,y/2);    if (y%2) return t*t%mo*x%mo;return t*t%mo;}ll dg(ll x,ll y){    return c[x]*mi(c[y]*c[x-y]%mo,mo-2)%mo;}int main(){//  freopen("data.in","r",stdin);    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);c[0]=1;    for (i=1;i<=400;i++)        c[i]=c[i-1]*i%mo;    f[0][0]=1;    for (i=1;i<=n*m;i++)        for (j=1;j<=min(i,p+1);j++)            f[i][j]=(ll)(j*f[i-1][j]%mo+f[i-1][j-1])%mo;    for (i=1;i<=n*m;i++)        for (j=1;j<=p+1;j++)            f[i][j]=(ll)f[i][j]*c[j]%mo;    for (i=0;i<=n;i++){        x=dg(n,i);        for (j=0;j<=m;j++){            if ((i+j)%2) z=-1;            else z=1;            y=(ll)(f[(n-i)*(m-j)][p+1]+f[(n-i)*(m-j)][p])%mo*x%mo*dg(m,j)%mo;            ans=(ans+y*z+mo)%mo;        }    }    printf("%lld\n",ans);}