step小结2
来源：互联网 发布：局域网流量分析软件 编辑：程序博客网 时间：2024/06/16 01:34
第二章
P1
素数（公约数）
素数用约定俗成的筛法就能得出结果。然而当数据过大时，普通的筛法提交会TLE，需要对其进行优化。因为偶数（几乎）全都不是素数，可以只考虑奇数。先将序列离散化一下。之后在使用筛法进行筛选。
参考代码：
1. half=SIZE/2;
2. int sn = (int) sqrt(SIZE);
3. for (i = 0; i < half; i++)
4. p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3，即p[i]对应2*i+3/2*i+1
5. for (i = 0; i < sn; i++) {
6. if(p[i])//如果 i+i+3/i+i+1 是素数
7. {
8. for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k)
9. // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2
10. // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i
11. // 下标 i k*i+k+i
12. //对应数值 k=i+i+3 k^2
13. p[j]=false;
14. }
15. }
P2
斐波那契数列，卡特兰数
2.2.1
数学题，推不出公式。。。只能看其他大神的博客记下来
斐波那契公式 an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)
运用了对数的性质loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c)
对公式取对数
最后要注意题意得输出情况，酌情使用公式
代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 21
using namespace std;
int main(){
int a[N];
a[0]=0;a[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
a[i]=a[i-1]+a[i-2];
int n;double s;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
if(n<20){
cout<<a[n]<<endl;
}else{
s=log10(1.0/sqrt(5))+n*log10((1.0+sqrt(5))/2.0)+4-(int)(log10(1.0/sqrt(5))+n*log10((1.0+sqrt(5))/2.0)+1);
int ans=(int)pow(10.0,s);
cout<<ans<<endl;
}
}
return 0;
}
卡特兰数
原理
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式[2] ：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
重点在于应用
一直没理解这些应用之间的联系，好在只有这几种情况。一一记下。
（转自百度百科）
1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？
卡特兰数模板：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAX 100
#define BASE 10000
using namespace std;
void cheng(int a[],int max,int b){
int ans=0;int i;
for(i=max-1;i>=0;i--){
ans+=a[i]*b;
a[i]=ans%BASE;
ans/=BASE;
}
}
void chu(int a[],int max,int b){
int div=0;
int i;
for(i=0;i<max;i++){
div=div*BASE+a[i];
a[i]=div/b;
div=div%b;
}
}
int main(){
int n,i;
int a[101][MAX];
memset(a[1],0,MAX*sizeof(int));
for(i=2,a[1][MAX-1]=1;i<101;i++){
memcpy(a[i],a[i-1],MAX*sizeof(int));
cheng(a[i],MAX,4*i-2);
chu(a[i],MAX,i+1);
}
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
if(n==-1)break;
for (i = 0; i < MAX && a[n][i] == 0; i++); //去掉数组前为0的数字。
cout << a[n][i++];
for(;i<MAX;i++){
printf("%04d",a[n][i]);
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
模板中使用了大数间的乘除法
2.2.6
斯特林数
概念:
第一类Stirling数表示表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。又根据正负性分为无符号第一类Stirling数su(n,m)和带符号第一类Stirling数ss(n,m) 。有无符号Stirling数分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数[类似于二项式系数]，形式如下：
s(n,m)=(n-1)*s(n-1,m)+s(n-1,m-1) ,1<=m<=n-1
S（N，0）=0; S（N，N）=1； S（0，0）=0； S（N，K）=S（N-1，K-1）+S（N-1，K）*（N-1）(高中数学没学好。。)
代码如下：
//斯特林数
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL sum[21];
LL s[21][21];
int main(){
sum[0]=0;sum[1]=1;
for(int i=2;i<=20;i++){
sum[i]=i*sum[i-1];
}
for(int i=1;i<=20;i++){
s[i][0]=0;
s[i][i]=1;
for(int j=1;j<i;j++){
s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];
}
}
int t;
cin>>t;
int n,k;
while(t--){
cin>>n>>k;
if(n==1||k==0){
printf("0.0000\n");
continue;
}else{
LL ans=0;
for(int i=1;i<=k;i++){
ans+=(s[n][i]-s[n-1][i-1]);
}
printf("%0.4lf\n",(ans*1.0)/sum[n]);//tips:这里ans*1.0是为了将其从LL转为long double类
}
}
return 0;
}
斯特林公式
用途:斯特林公式（Stirling's approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。
公式：
res=(long)( (log10(sqrt(4.0*acos(0.0)*n)) + n*(log10(n)-log10(exp(1.0)))) + 1 )
代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define pi 3.1415926
using namespace std;
void f(int m){
double t;
int res;
t=(m*log(m)-m+0.5*log(2*m*pi))/log(10);
res=(int)t+1;
cout<<res<<endl;
}
int main(){
int n;
cin>>n;
int m;
while(n--){
cin>>m;
f(m);
}
return 0;
}
P3
大数运算
嗯。。。。
直接上模板
///两种类型的大数运算
///第一种，使用string数组
///第二种，使用int数组，关键都在于对手算的模拟
///P1:本人的
/*#include<cstdio>
#include<iostream>
#define LL long long
#define N 10001
using namespace std;
string a[N];
string bigadd(string &num, string add) {
int goBit = 0;
if (num.length() < add.length()) {
string tmp = num;
num = add;
add = tmp;
}
string tmp (num.length() - add.length(), '0');
add = tmp + add;
int len1 = num.length(), len2 = add.length();
for (int i = len1 -1 ; i>= 0; --i) {
int tmp=((num[i]-'0')+(add[i] - '0') + goBit) ;
num[i]=(tmp%100)+'0';
goBit = tmp/100;
}
if (goBit != 0)
num.insert(0, string(1, (char)goBit +'0'));
return num;
}
string bignumadd(string b,string c,string d,string e){
string tmp=bigadd(b,c);
tmp=bigadd(tmp,d);
if(tmp.length()<e.length()){
string ans=tmp;
tmp=e;
e=ans;
}
tmp=bigadd(e,tmp);
return tmp;
}
void init(){
a[1]='1';a[2]='1';a[3]='1';a[4]='1';
for(int i=5;i<=10000;i++){
a[i]=bignumadd(a[i-1],a[i-2],a[i-3],a[i-4]);
}
}
int main(){
int n;
init();
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
cout<<a[n];
cout<<endl;
}
return 0;
}*/
///P2：int数组，但编译器无法编译
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[10000][650];
int main(){
int p=1;
memset(a,0,sizeof(a));
a[1][0]=1;
a[2][0]=1;
a[3][0]=1;
a[4][0]=1;
for(int i=5;i<10000;i++){
for(int j=0;j<=p;j++)
a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-2][j]+a[i-3][j]+a[i-4][j];
for(int j=0;j<=p;j++){
a[i][j+1]+=a[i][j]/10000;
a[i][j]=a[i][j]%10000;
}
if(a[i][p])
p++;
}
int n;
while(scanf("%d",n)!=EOF){
int i;
for(i=p;i>=0;i--)
if(a[n][i]!=0)
break;
printf("%d",a[n][i--]);
for(;i>=0;i--){
printf("%04d",a[n][i]);
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
///P3：可编译的int数组类
#include <stdio.h>
#include <string.h>
/*自定义的大数表示方法
结构体数组中的每一个int表示一个不超过 10 0000 0000 的数,
它是小于有符号int的最大值的,也就是说把一个很大的数拆分成
多个部分表示,就像我们在做两个数相加时,一位一位相加一样,
我只是用程序9位9位的加,取代人工的1位加法
*/
//要求是不超过1000位Fibonacci数,我这里就取MAX_BIG位,最多能表示
//的Fibonacci位数就是 MAX_BIG*9 = 120*9 = 1080位
//我这里用BIG_INTEGER[0]表示最低位
#define MAX_BIG 120
typedef struct{
//+1:可能产生最高位进位,但我不管,直接丢弃(不然VS2012会报栈被破坏,
//栈确实会被破坏,VS2012挻智能的)
unsigned int big[MAX_BIG+1];
}BIG_INTEGER;
#define BIG_BASE 1000000000 //进制,不知道不要乱改
/*******************************************************
函数:calc@12
功能:a+b -> c, 大数加法
参数:a,b - 加数; c:和
返回:(无)
*******************************************************/
void calc(BIG_INTEGER* a, BIG_INTEGER* b,BIG_INTEGER* c)
{
unsigned int sum=0;
int i=0;
/**************************
以下循环计算一次加法:
加数1:abcd
加数2:efgh
结果:(a+e+x)(b+f+x)(c+g+x)(d+h+x)
其中:
abcd,efgh在这里各代表一个9位数
x代表来自低位的进位
***************************/
memset(c,0,sizeof(BIG_INTEGER));
for(i=0; i<MAX_BIG; i++){
c->big[i] = a->big[i] + b->big[i] + c->big[i]; //做1次9位加,记得加上本身
c->big[i+1] = c->big[i]/BIG_BASE; //高位加上结果的进位
c->big[i] = c->big[i] % BIG_BASE; //当前位只保留余数
}
}
/************************************************************
函数:fibonacci@4
功能:计算第n位的菲波那契数值
参数:n:第n位, 最低为1
************************************************************/
void fibonacci(int n)
{
BIG_INTEGER a = {0};
BIG_INTEGER b = {0};
BIG_INTEGER c = {0};
int i=0;
if(n<=1){
printf("%d\n",n==1);
return;
}
//Fibonacci:1,1,2,3,5,8,...
//为保证第一次计算(n=2)时的结果,所以初值为:a=0,b=1 => c=1
a.big[0] = 0;
b.big[0] = 1;
/**************************
以下循环计算类似小数的Fibonacci:
f3 = f1 + f2;
f1 = f2;
f2 = f3;
***************************/
for(i=2; i<=n; i++){
calc(&a,&b,&c);
memcpy(&a,&b,sizeof(BIG_INTEGER));
memcpy(&b,&c,sizeof(BIG_INTEGER));
}
//该for循环忽略输出从最高位开始的为0的一个数值位(9位)
//当然, 条件 i>0 是必须的,你知道为什么吗?
for(i=MAX_BIG-1; c.big[i]==0 && i>0; i--)
;
//对于最高位:不需要输出前导的'0'
printf("%u", c.big[i--]);
//然后按9位分解输出每个数值位,这个一定要记得输出前导0,
//一开始我没注意到,就出了问题
while(i>=0){
printf("%09u",c.big[i]);
i--;
}
printf("\n");
}
int main(void)
{
int n;
scanf("%d",&n);
fibonacci(n);
return 0;
}
剩下题目卡特兰数前面已总结，DP留到第三章
- step小结2
- step小结1
- iBATIS step by step 2
- SSH2 Step by Step- Step 2 Hibernate的配置
- Git Step By Step - Step 2: Go Back in Time
- Step-By-Step 建立PocketPc应用程序(2)
- Learn C++ step by step(2)
- Securing Apache 2: Step-by-Step
- Little Painter Step by Step-Day 2
- web.py step by step (2)
- NHibernate Step By Step(2)-继承映射
- Spring MVC: step by step 2-SimpleUrlHandlerMapping
- 数据库设计 Step by Step (2)
- 数据库2（step by Step）
- Linux 学习 step by step （2）
- Study MyBatis Step by Step 2
- 正则表达式（2） step by step
- Git Step by Step (2)：本地Repo
- 音视频开发：码率、延时、花屏、卡顿
- step小结1
- spring中@value注解需要注意
- trinitycore authserver
- 每天一个linux命令（7）：mv命令
- step小结2
- 3U VPX TMS320C6678 信号处理板卡
- JS打印99乘法表
- 播放特效
- Facebook页面受欢迎程度分析
- 基础DP
- 凑方程解
- 用命名内核对象判断程序是否有实例正在运行
- spi
