[模板] 斜率优化Dp详解

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算法简介

今天xinyue讲了斜率优化，全程懵逼，居然还有这么牛逼的东西。
于是与achen讨论了一下，总结一些东西。
斜率优化Dp其实是单调队列的推广，单调队列、旋转卡壳、斜率优化都利用了单调性降低时间复杂度。

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算法简介

举个例子
有些动规状态转移方程可以写成
f[i]=min/max{f[j]+…+x[i]}，省略号中只有与j有关的变量。
我们就可以用单调队列进行优化，使O(n^2)降为O(n)
但是对于这一类的方程：
f[i]=min/max{f[j]+(x[i]-x[j])^2}
展开后得到
f[i]=min/max{f[j]+x[i]^2+x[j]^2-2*x[i]*x[j]}
红色部分不仅有j相关的量，还有与i有关的量，从而使单调队列失效。
此时我们就需要用到斜率优化。

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引例

hdu3507
题目大意：
给出N个单词，每个单词有个非负权值Ci，现要将它们分成连续的若干段，每段的代价为此段单词的权值和，还要加一个常数M，即(∑Ci)^2+M。现在想求出一种最优方案，使得总费用之和最小。

容易写出方程：
f[i]=min{f[j]+(s[i]-s[j])^2+M}(0<=j<=i-1)
其中s是前缀和
可是范围是500000，又不能用单调队列，那怎么办呢？

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算法核心

数学分析法见此大爷博客，讲的挺详细->传送门
以下谈谈斜率优化的数形结合理解方法：
以下纯粹空谈，请结合引例分析理解。

根据动规方程状态i从状态j转化而来，
我们可以化成类似f[i]=(f[j]+…)+(-i*f[i-1]*f[j])+(i+…)的形式
其中蓝色部分只与j有关，红色部分与i，j有关，绿色部分只与i或常数有关
我们可以固定i，故变形为
f[i]-i-…=(f[j]+…)+(-i*f[i-1]*f[j])
考虑几何意义，
令蓝色部分为y，红色部分中的i部分为导数k，红色部分中j部分为x，绿色部分只是常数，在几何意义上只是截距，与单调性无关，可以设为B
故得y=kx-B
是不是很像直线方程？
假设关于i的部分>0且随着i增加而增加，求的是最小值
则k随着i增加而增加，对于有效点集我们可以画出下图。

是不是很像一个下凸包？
我们用当前的斜率k从下方去不断逼近下凸包，最终会先碰到哪一个点？

一定是与斜率最相近的点，因为函数单调递增，故小于斜率的决策肯定没有后面的优，舍去。
因此我们可以用一个类似单调队列的双端队列来维护状态j，以下是实现方案：

若导数小于当前斜率，舍掉队首。
根据方程使用队首取出j算出当前f[i]的值
接着我们要加入结点i，但还得维护队列的下凸性，如果加入结点i破坏了下凸性，就弹去队尾，直到下凸位置（请dalao们不要吐槽示意图，没时间改了）

因此可以得到O(n)的算法

当然，若方程关于i的部分随着i增加而减小，且>0，则维护上凸性。以此类推，树形结合分析。

核心代码如下：

int Left=1,Right=1;    Q[1]=0;    f[0]=0;    for(int i=1; i<=n; i++) {        while(Left<Right&&Slope(Q[Left],Q[Left+1])<=sumd[i])Left++; //维护队首（删除非最优决策）        int Front=Q[Left]; //取出队列中最优元素j         f[i]=Cal(i,Front); //根据方程计算当前f        while(Left<Right&&Slope(Q[Right-1],Q[Right])>=Slope(Q[Right],i))Right--; //维护队尾（维护下凸包性质）        Q[++Right]=i; //入队    }

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引例分析

f[i]=min{f[j]+(s[i]-s[j])^2+M}
展开得
f[i]=min{f[j]+s[i]^2+s[j]^2-2*s[i]*s[j]+M}
令f[i]=B,f[j]+s[j]^2=y,2*s[j]=x,k=s[i]
因此k*x+B=y
k是s[i]，前缀和随着i增大而增大，因为求最小值，故维护下凸包。

#include<algorithm>#include<iostream>#include<iomanip>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<vector>#include<cstdio>#include<cmath>#include<queue>using namespace std;inline const int Get_Int() {    int num=0,bj=1;    char x=getchar();    while(x<'0'||x>'9') {        if(x=='-')bj=-1;        x=getchar();    }    while(x>='0'&&x<='9') {        num=num*10+x-'0';        x=getchar();    }    return num*bj;}long long n,m,Q[500005],f[500005],s[500005];double Slope(long long j,long long k) { //求斜率     return double((f[j]+s[j]*s[j])-(f[k]+s[k]*s[k]))/(2*s[j]-2*s[k]);}int main() {    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF) {        for(int i=1; i<=n; i++)s[i]=s[i-1]+Get_Int();        int Left=1,Right=1;        Q[1]=0;        f[0]=0;        for(int i=1; i<=n; i++) {            while(Left<Right&&Slope(Q[Left],Q[Left+1])<=s[i])Left++; //维护队首（删除非最优决策）             int Front=Q[Left];            f[i]=f[Front]+(s[i]-s[Front])*(s[i]-s[Front])+m; //计算当前f             while(Left<Right&&Slope(Q[Right-1],Q[Right])>=Slope(Q[Right],i))Right--; //维护队尾（维护下凸包性质）             Q[++Right]=i; //入队         }        printf("%lld\n",f[n]);    }    return 0;}

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经典例题

[hdu3507] 打印文章（引例）
[HNOI2008] 玩具装箱
[CEOI2004] 锯木厂选址
[ZJOI2007] 仓库建设
[USACO 2008 March Gold] 土地购买
[APIO2010] 特别行动队
[APIO2014] 序列分割
[bzoj3437] 小P的牧场
[SDOI2016] 征途

这里留下的坑慢慢填吧，希望填的完。

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后记

斜率优化这一部分比较难懂，读者可以自己在纸上推算一下。
如果有疑问或者认为本文有问题请在下面↓提出，感谢大家的支持。

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