伽罗华域（Galois Field）上的四则运算

伽罗华域（Galois Field）上的四则运算

Évariste Galois ，伽罗华（也译作伽瓦罗），法国数学家，群论的创立者。用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论。

本文介绍伽罗华域，以及在伽罗华域上的四则运算方式。伽罗华域上的四则运算实际上是多项式计算，后文中详细介绍。

一、相关数学概念

1、域

一组元素的集合，以及在集合上的四则运算，构成一个域。其中加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。加法和乘法具有封闭性，即加法和乘法结果仍然是域中的元素。  

域中必须有加法单位元和乘法单位元，且每一个元素都有对应的加法逆元和乘法逆元。但不要求域中的 0有乘法逆元。  

2、有限域

仅含有限多个元素的域。因为它由伽罗华所发现，因而又称为伽罗华域。

所以当我们说伽罗华域的时候，就是指有限域。

GF（2^w）表示含有2^w个元素的有限域。

3、单位元

Identity Element，也叫幺元（么元），通常使用e来表示单位元。单位元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。

对于二元运算*，若a*e=a，e称为右单位元；若e*a=a，e称为左单位元，若a*e=e*a=a，则e称为单位元。

4、逆元

对于二元运算*，若a*b=e，则a称为b的左逆元素，b称为a的右逆元素。若a*b=b*a=e，则称a为b的逆元，b为a的逆元。

5、本原多项式

域中不可约多项式是不能够进行因子分解的多项式， 本原多项式 （primitive polynomial）是一种特殊的不可约多项式。当一个域上的本原多项式确定了，这个域上的运算也就确定了。本原多项式一般通过查表可得，同一个域往往有多个本原多项式。

通过将域中的元素化为多项式形式，可以将域上的乘法运算转化为普通的多项式乘法再模本原多项式。

二、多项式运算

由于GF（2^w）上的四则运算是基于多项式运算的，这里先介绍多项式运算。

多项式一般长这个样子：f(x) = x^6 + x^ 4 + x^2 + x + 1。

1、多项式加减法

将两个多项式中相同阶数的项系数相加或相减。

例如 (x^2 + x ) + (x + 1) = x^2 + 2x +1

2、多项式乘法

将其中一个多项式的各项分别与另一个多项式的各项相乘，然后把相同指数的项的系数相加。

例如 (x^2 + x) * (x + 1) = x^2 * (x + 1) + x * (x + 1） = x^3 + x^2 + x^2 + x

3、多项式除法

使用长除法。例如计算x^3-12x^2-42，除以x-3。使用长除法计算，商x^2-9x-27，余数-123。

3、GF（2^w）上的多项式运算

对于GF（2^w）上的多项式计算，多项式系数只能取 0或1。（如果是GF(3^w)，那么系数可以取 0、 1、 2）

GF（2^w）的多项式加法中，合并阶数相同的同类项时，由于0+0=0,1+1=0,0+1=1+0=1，因此系数不是进行加法操作，而是进行异或操作。

GF（2^w）的多项式减法等于加法，例如x ^4 – x^4就等于x^4 + x^4。

三、伽罗华域

1、有限域GF(p)：

有限域GF(p)，其中p为素数。GF(p)里面的加法和乘法与一般的加法和乘法差不多，区别是结果需要mod p，以保证结果都是域中的元素。GF(p)的加法和乘法单位元分别是 0和1。

GF(p)加法是(a+b) mod p，乘法是(a*b)mod p。

对于域中的乘法，当p为素数时，才能保证集合中的所有的元素都有乘法逆元(0除外)。即对于域中的任一个元素a，总能在域中找到另外一个元素b，使得a*b mod p 等于1。

说明：假如p等于10，其乘法单位元为1。对于元素2，找不到一个数a，使得2*a mod 10 等于1，即2没有乘法逆元。这时，在域上就不能进行除2运算。

2、有限域GF(2^w)：

GF(p)中p必须是一个素数，才能保证集合中的所有元素都有加法和乘法逆元(0除外)。但实际应用中，很多场合需要 0到255这256个数字能组成一个域。但256不是素数，小于256的最大素数为251，如果直接把大于等于251的数截断为250，则会丢失一部分数据。

因此引入了GF(p^w)，其中p为素数，通常取p=2。计算机领域中经常使用的是GF(2^8)，8刚好是一个字节的比特数。为了保证单位元性质，GF(2^w)上的加法运算和乘法运算，不再使用一般的加法和乘法，而是使用多项式运算。

四、本原多项式

伽罗华域的元素可以通过该域上的本原多项式生成。通过本原多项式得到的域，其加法单位元都是 0，乘法单位元是1。

以GF(2^3)为例，指数小于3的多项式共8个： 0， 1， x， x+1， x^2， x^2+1， x^2 + x， x^2+x+1。其系数刚好就是000,001, 010, 011, 100, 101, 110, 111，是0 到7这8个数的二进制形式。

GF(2^3)上有不只一个本原多项式，选一个本原多项式x^3+x+1，这8个多项式进行四则运算后 mod (x^3+x+1)的结果都是8个之中的某一个。因此这8个多项式构成一个有限域。

对于GF(2^3)，取素多项式为x^3 + x+1，那么多项式x^2+x的乘法逆元就是x+1。系数对应的二进制分别为110和011。此时，我们就认为对应的十进制数6和3互为逆元。

 

部分 GF（2^w）域经常使用的本原多项式如下：

通过本原多项式生成元素

设P(x)是GF（2^w）上的某一个本原多项式，GF（2^w）的元素产生步骤是： 
1、给定一个初始集合，包含0,1和元素x，即 {0,1,x}； 
2、将这个集合中的最后一个元素，即x，乘以x，如果结果的度大于等于w，则将结果mod P(x)后加入集合；
3、直到集合有2^w个元素，此时最后一个元素乘以x再mod P(x)的值等于1。

例如，GF(2^4)含有16个元素，本原多项式为P(x)=x^4+x+1，除了 0、1外，另外14个符号均由本原多项式生成。

注意到x^14=x^3+1，此时计算x^15=x^14*x=(x^3+1)*x=x^4+x=1，生成结束。

生成元素多项式表示二进制表示数值表示推导过程0000000 x^0x^000011 x^1x^100102 x^2x^201004 x^3x^310008 x^4x+100113x^3*x = x^4 mod P(x) = x+1x^5x^2+x01106x^4*x = (x+1)*x = x^2+xx^6x^3+x^2110012 x^7x^3+x+1101111x^6*x = (x^3+x^2)*x = x^4 +x^3 mod P(x) = x^3+x+1x^8x^2+101015 x^9x^3+x101010 x^10x^2+x+101117x^9*x=(x^3+x)*x = x^4+x^2 mod P(x) = x^2+x+1x^11x^3+x^2+x111014 x^12x^3+x^2+x+1111115x^11*x=(x^3+x^2+x)*x = x^4+x^3+x^2 mod P(x) = x^3+x^2+x+1x^13x^3+x^2+1110113x^12*x=(x^3+x^2+1  )*x = x^4+x^3+x mod P(x)= x^3+1x^14x^3+110019x^13*x=(x^3+x^2+1)*x = x^4+x^3+x mod P(x) = x^3+1x^15100011x^14*x = (x^3+1)*x = x^4+x mod P(x) = 1

五、伽罗华域上的运算

加法和减法：

加法和减法就是多项式计算中说的异或运算。

乘法和除法：

伽罗华域上的多项式乘法，其结果需要mod P(x)，可以通过以下方式简化计算。

首先，考虑x^8，x^8 mod P(x) = P(x) – x^8 = x^4 + x^3 +x^2 +1 。

对于一般形式的多项式f(x)=a7*x^7 + a6*x^6 + a5*x^5 + a4*x^4 + a3*x^3 + a2*x^2 + a1*x + a0，乘以x得到

x*f(x) = (a7*x^8 + a6*x^7 + a5*x^6 + a4*x^5 + a3*x^4 + a2*x^3 + a1*x^1 + a0*x) mod P(x)

这时有两种情况：

1）a7 == 0，此时结果是一个小于指数小于8的多项式，不需要取模计算。

2）a7 == 1，则将x^8替换为x^4 + x^3 + x^2 +1，而不用进行除法取模计算，结果为：

x*f(x) = (x^4 + x^3 + x^2 +1) + a6*x^7 + a5*x^6 + a4*x^5 + a3*x^4 + a2*x^3 + a1*x^1 + a0*x 

虽然可以通过替换减少除法计算，但还是过于复杂。尤其是在需要大量运算的场合，比如图像处理。于是牛人提出通过查表来减少计算。

 

六、查表的原理

首先介绍一个概念，生成元。

生成元是域上的一类特殊元素，生成元的幂可以遍历域上的所有元素。假设g是域GF(2^w)上生成元，那么集合 {g0 ，g1 ， ……，g(2^w-1) } 包含了域GF(2^w)上所有非零元素。在域GF(2^w)中2总是生成元。

将生成元应用到多项式中， GF(2^w)中的所有多项式都是可以通过多项式生成元g通过幂求得。即域中的任意元素a，都可以表示为a = g^k。

GF(2^w)是一个有限域，就是元素个数是有限的，但指数k是可以无穷的。所以必然存在循环。这个循环的周期是2^w-1（g不能生成多项式 0）。所以当k大于等于2^w-1时，g^k =g^(k%(2^w-1))。

 对于g^k = a，有正过程和逆过程。知道指数k求a是正过程，知道值a求指数k是逆过程。

对于乘法，假设a=g^n，b=g^m。那么a*b = g^n* g^m = g^(n+m)。查表的方法就是根据a和b，分别查表得到n和m，然后查表g^(n+m)即可。

因此需要构造正表和反表，在GF(2^w)域上分别记为gflog和gfilog。gflog是将二进制形式映射为多项式形式，gfilog是将多项式形式映射为二进制形式。

注意：多项式0 ，是无法用生成元生成的。g^0等于多项式1，而不是 0。

    根据上文的GF(2^4)的元素表示，生成gflog表和gfilog表如下：

查表进行乘法和除法运算的例子

在GF(2^4)域上的乘法和除法，已知2^w-1 = 2^4 -1 = 15：

乘法：

    7 * 9 = gfilog[gflog[7] + gflog[9]] = gfilog[10 + 14]

       = gfilog[24 mod 15] = gfilog[9] = 10

除法：

    13 / 11 = gfilog[gflog[13] - gflog[11]] =  gfilog[13 - 7] = gfilog[6] = 12

五、生成GF（2^w）gflog表和gfilog表的python代码

# coding=UTF-8# key : value => w : primitive_polynomialprimitive_polynomial_dict = {4: 0b10011,                            # x**4  + x     + 1                             8: (1 << 8) + 0b11101,                 # x**8  + x**4  + x**3 + x**2 +1                             16: (1 << 16) + (1 << 12) + 0b1011,    # x**16 + x**12 + x**3 + x    + 1                             32: (1 << 32) + (1 << 22) + 0b111,     # x**32 + x**22 + x**2 + x    + 1                             64: (1 << 64) + 0b11011                # x**64 + x**4  + x**3 + x    + 1                             }def make_gf_dict(w):    gf_element_total_number = 1 << w    primitive_polynomial = primitive_polynomial_dict[w]    gfilog = [1]  # g(0) = 1    for i in xrange(1, gf_element_total_number - 1):        temp = gfilog[i - 1] << 1  # g(i) = g(i-1) * g        if temp & gf_element_total_number:  # if overflow, then mod primitive polynomial            temp ^= primitive_polynomial  # mod primitive_polynomial in GF(2**w) == XOR        gfilog.append(temp)    assert (gfilog[gf_element_total_number - 2] << 1) ^ primitive_polynomial    gfilog.append(None)    gflog = [None] * gf_element_total_number    for i in xrange(0, gf_element_total_number - 1):        gflog[gfilog[i]] = i    print "{:>8}\t{:>8}\t{:>8}".format("i", "gfilog[i]", "gflog[i]")    for i in xrange(0, gf_element_total_number):        print "{:>8}\t{:>8}\t{:>8}".format(i, gfilog[i], gflog[i])if __name__ == "__main__":    make_gf_dict(4)

参考

http://blog.csdn.net/luotuo44/article/details/41645597

http://blog.csdn.net/mengboy/article/details/1514445

http://www.tuicool.com/articles/RZjAB3

http://ouyangmy.is-programmer.com/posts/41256.html