卡特兰数定义及其几个常用的应用（附例子"括号匹配"代码）+应用总结

1.定义：卡特兰数：规定h(0)＝1，而h(1)＝1，h(2)＝2，h(3)＝5，h(4)＝14，h(5)＝42，h(6)＝132，h(7)＝429，h(8)＝1430，h(9)＝4862，h(10)＝16796，h(11)＝58786，h(12)＝208012····················

通项公式为：

   2.应用：①括号匹配问题（也就是比如2n=6,三对括号有多少种放置方式，求出所有满足要求个数），我用递归写了个代码，如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#define MAX 6
int nn = 0;
using namespace std;

string res[MAX] = {"("};
void print()
{
nn += 1;
for (int i = 0; i < MAX; i++)
cout << res[i] << " ";
cout << endl;
}
//中断条件放在最前面，接下来是正常结束边界条件。
void pipei(int leftlimit,int n,int left)
{
if (left>= MAX/2+1) return;


if (leftlimit < 0) return;


if (n >= MAX) {
print(); 
return;
}

res[n] = "(";
pipei(leftlimit + 1, n + 1, left+1);
res[n] = ")";
pipei(leftlimit - 1, n + 1,left);
return;
}

int main()
{
pipei(1,1,1);//n从1到5，共5个;left 从1到3；
cout << "总的个数：" << nn << endl;
return 0;
}

或者代码里MAX可以改为四对，五对等括号匹配，都可以。运行结果：

②出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、...、n，有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)；在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

③一个面试题：

12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少

种？

　　问题分析:

　　我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.

　　用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.

　　比如000000111111就对应着

　　第一排：0 1 2 3 4 5

　　第二排：6 7 8 9 10 11

　　010101010101就对应着

　　第一排：0 2 4 6 8 10

　　第二排：1 3 5 7 9 11

　　问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。

　　观察规律我们发现1的出现前边必须有一个相应的0对应，所以从左到右的所有序列中0的个数要一直大于1的个数。

3.总结：什么时候想到用卡特兰数，本质就是说：

比如：从左到右的所有序列中0（左括号）的个数要一直大于1（右括号）的个数。

推广：从左到右的所有序列中“某个约束”  的个数要一直大于非约束        的个数。

参考：http://buptdtt.blog.51cto.com/2369962/832586/

      http://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/5456490.html