卡特兰数及其应用场景

参考博客：

• http://blog.sina.com.cn/s/blog_7064e7850100y1xf.html

  http://blog.csdn.net/u012333003/article/details/23791979

卡特兰数
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

卡特兰数的应用场景：

1.给定n个数，有多少种出栈序列？
（问题的形象描述：

• 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
  将问题转化为：入栈的数的个数总是要大于或者等于出栈数的个数。C(2n，n)-C(2n，n-1)

• 饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？

• 一个有n个1和n个-1组成的字串，且前k个数的和均不小于0，那这种字串的总数为多少？
• P=A1A2A3……An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？）

• 来个看起来复杂点的：将1 2 3 4 5 6排成两行，使得每行3个数，并且每行从左往右读值增加，每一列小数在上
  我们可以想象， 1 2 3代表左括号， 4 5
  6代表右括号，为了从左往右读值增加，方法会有很多，但加上小数在上大数在下，就相当于左括号数总是大于或者等于右括号数么。假设这里的“左括号”少一个，那么下面一行对应会多一个左括号，而且因为值要求从小到大排列，即每行左括号总是在前，那么在上下对齐时，由于下面左括号要多，所以下行最后一个左括号肯定对齐着上行的右括号，是不符合要求的，但上面行的左括号要多这是没问题的。

• 【阿里巴巴笔试题】：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

  将问题转化为：带5块钱的排前面的个数总是要大于带10块钱的人的个数，即C(16，8)-C(16，7)

• 【腾讯笔试题】在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？
  将问题转化为：还书的人总是要大于或等于借书的人，即C(6，3)-C(6，2)

• 【阿里巴巴笔试题】12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

  C(12，6)-C(12，5)

2：n个节点的二叉树有多少种构型？

3：有n+1个叶子的满二叉树的个数？

4：在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？

5：将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数？

6：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

7：用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数？