联合分布
来源:互联网 发布:法尔曼怎么样 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/04/27 17:36
让我们先从离散变量开始探讨联合概率分布。
首先,我们给定一个如下的样本空间:
Ω={hhh,hht,hth,thh,htt,tht,tth,ttt}
用这个样本空间代表连续三次投硬币可能产生的结果,h为正面,t为反面。
在概率论中,一个重要的思想是认为随机变量是从样本空间到实数的映射。比如,针对上述样本空间,我们可以建立两个随机变量:
X:投掷为正面的总数,可以取值0,1,2,3。
Y:最后一次出现负面的总数,可以取值0,1。
考虑下面的问题:如果样本空间
连续随机变量的联合分布同此一理。不同的是,对于连续随机变量来说,通过概率密度函数计算概率的方式稍微复杂一些。学过正态分布的同学,应该知道,对于正态分布函数来说,如果要计算区间[a,b]的概率,我们要计算a至b这段函数的面积。通过积分即可求解。对于连续变量的联合分布来讲,由于它是关于两个随机变量共同出现的描述,所以它的概率密度函数将呈现在一个三维空间中。
在这个空间中,x轴,y轴分别代表两个随机变量,z轴的值是概率密度函数。如果我们希望求得变量x在区间[a,b],变量y在区间[c,d]的概率,now, use your imagination我们要首先在xoy平面上画出位于两个区间内的平行四边形,而后以这个平行四边形为底沿z轴方向切割空间至概率密度函数终止。这样将得到一个立方体,其体积即是所欲求得的概率值。同样,可以用积分的方法来计算:
最后补充一下联合概率与条件概率的关系。
回到最开始的硬币例子。P(X=0,Y=1)=P({ttt})=1/8表示无正面出现,最后一次是背面的概率为1/8。如果我们要计算条件概率,如无正面出现时,最后一次是背面的概率,我们很清楚这概率为1。而单纯无正面出现的概率为1/8,从数字上你可以看到一些关系。实际上联合分布P(X,Y)正是可以看作是X单独出现的概率乘以X出现时Y出现的概率,即P(X,Y)=P(X)*P(Y|X)。
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