蓝桥杯 历届试题 矩阵翻硬币 By Assassin 模拟

问题描述　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。输入格式　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。输出格式　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。样例输入2 3样例输出1数据规模和约定　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

真是不得不说自己真是脑子都秀逗了，这道题可以放到acm里了…蓝桥杯题目也不简单…总体来说这个题其实是个模拟题，我们看提示数据规模的时候大概就能猜到，要么是个结论，要么就是数据水了，肯定是个公式题。而且上升到了000位最后肯定是个大数模拟。

好吧那么怎么推公式呢？一开始我没想出来，现在明白了其实是猜测，因为是个矩形嘛，所以行列的地位是相同的，那么我们构造一些特殊的矩阵，然后将答案手算出来

如下

数据 答案 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1 7 2 1 8 2 1 9 3

然后其实我们可以发现一个规律，一个数的因数一定成对出现的，比如说

24=4∗6=2∗12=1∗24=3∗8

每一对数在上述的数据中相当于硬币反转了两次！如1 24中对第3、8列中进行Q操作对24列是没有影响的。
但是对于平方数，存在两个因数相同！这就相当于硬币只能反转一次！所以我们对于一列只需要求出最大数的开方即可。

那么对于二维矩阵我们猜测是

ans=sqrt(input1)∗sqrt(input2)

其实我们用long long 去实验一下就有底了对了一部分~

那么下面就是大数开方的问题了，我们用string模拟（说到底还是因为数据水）我们知道要开方数的长度就可以知道开方后答案长度是多少。

{anslen=len/2anslen=len/2+1len%2==0len%2==1

首先需要写好string的大数乘法和开方，然后我们从高位到低位暴力值，注意这里每次暴力的时候不考虑后面的数，比如说

12321的结果是123三位，我们在暴力百位的时候，因为百位后面还有2个0没尝试，这个时候12321中的后4位是不用考虑的其他依次类推，这样是省一些时间的，否则会超时！

下面就是代码实现了，其实不该暴力的，网上有个手算开方的模拟…没看懂，有兴趣的童鞋可以查一下…

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;string multi(string s1,string s2){          //大数乘法     int a[2001]={0},len1=s1.size(),len2=s2.size();    for(int i= len1-1;i>=0;i--){        for(int j=len2-1;j>=0;j--){            a[2000-(len1-1-i)-(len2-1-j)]+=(s1[i]-'0')*(s2[j]-'0');        }    }    int jinwei=0;    for(int i=2000;i>=0;i--){        a[i]=jinwei+a[i];        jinwei=a[i]/10;        a[i]=a[i]%10;    }    int start;    for(start=0;start<=2000;start++){       //去前导零         if(a[start]!=0){            break;        }    }    string result;    for(int i=start;i<=2000;i++){        result+=('0'+a[i]);    }    return result;}string sqrt(string input){      //大数开方     int len=input.size(),anslen;    string ans="";    if(len%2==1){        anslen=len/2+1;    }    else{        anslen=len/2;    }     string cmp;     //提取每次比较的字符串     for(int i=1;i<=anslen;i++){        ans+="0";        ans[i-1]+=9;        cmp.assign(input,0,len-(anslen-i)*2);       //关键，每次我选则需要比较的前几位来         for(int num=9;num>=0;num--){                //从大到小的暴力合适就跳出             string has_to_try=multi(ans,ans);            if(has_to_try.size()>cmp.size()){                ans[i-1]-=1;                continue;            }            if(has_to_try<=cmp){                break;            }            ans[i-1]-=1;        }    }    return ans;}int main(){    string sqrt1="",sqrt2="",input1,input2,ans="";    while(cin>>input1>>input2){        cout<<multi(sqrt(input1),sqrt(input2))<<endl;    }    return 0;}