Leetcode 62. Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

s思路：
1. dp做。因为到终点终点只有两种方式：上边和左边，所以到终点的数量＝上边点的数量＋左边点的数量。这个过程是recursive的。需要注意的是：有可能某个点的数量需要多次计算，为了减少运算，可以用memorization，这就是所谓的bottom-up DP.
2. 当然，好理解的DP还是top-down，即：计算每个点的次数，先依次计算和起点同一行、同一列的所有点的次数，然后后面的位置都可以由：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]得到。
3. dp空间上可以优化。因为每个数之和左边和上边数有关系，即：每个数只被使用一次，这种情况我们可以把2d的dp修改成1d的dp。见方法２。

//方法１:　2d top-down DPclass Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        //        int dp[m][n]={0};        for(int i=0;i<n;i++)            dp[0][i]=1;        for(int i=1;i<m;i++)            dp[i][0]=1;        for(int i=1;i<m;i++){            for(int j=1;j<n;j++)                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];        }        return dp[m-1][n-1];    }};//方法2:　1d top-down DPclass Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        //        int dp[n+1]={0};        dp[1]=1;        for(int i=0;i<m;i++){            for(int j=2;j<=n;j++)                dp[j]=dp[j]+dp[j-1];        }        return dp[n];    }};