均值不等式及其多维形式

初中里我们学过这样一个东西， (a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2 ，它叫完全平方公式,这其实是一个很普通的多项式乘法，但我们可以以它为起点，发现许多有趣的数学事实。

我们知道实数的平方大于等于0，也就是说 a2−2ab+b2=(a−b)2⩾0a2−2ab+b2=(a−b)2⩾0 我们把 2ab2ab 移到右边，得到 a2+b2⩾2aba2+b2⩾2ab ，如果我们把 a2a2 b2b2 分别用AB代换，我们可以得到如下这个简洁的式子

A+B⩾2AB−−−√A+B⩾2AB

也就是说，A+B和AB是存在联系的，如果A，B是是正数并且他们的和确定，那么他们的积有一个最大指，反过来，如果他们的积确定了，那么他们的和有一个最小值，并且取最值时，这两个数相等。通过这个不等式,我们将加法和乘法联系在了一起。同时，如果两边除2，那么我们得到

A+B2⩾AB−−−√A+B2⩾AB

这个式子说明算数平均数是大于等于几何平均数的，并在两个数相等时相等

如果我们再次构造 (a+b)2(a+b)2 呢？在两边加上 a2+b2a2+b2 那么我们得到 2a2+2b2⩾(a+b)22a2+2b2⩾(a+b)2 ,这似乎看不出有什么神奇的结论蕴含在其中。我们再将它开方，整理得到

a2+b22−−−−−−√⩾a+b2a2+b22⩾a+b2

左边是平方平均根，右边是算数平方根，看来，任意两个正实数的平方平均数都大于等于它们的算数平均数，什么时候取等号呢，也是在这两个数相等时
那么既然出现了这么多均值，那么调和平均数 21a+1b21a+1b 在其中处于什么样的地位呢？

因为 1a+1b=a+bab1a+1b=a+bab ，我们利用 a+b⩾2ab−−√a+b⩾2ab 两边除 abab 得到 1a+1b⩾2ab√1a+1b⩾2ab 整理可得

ab−−√⩾21a+1bab⩾21a+1b

即几何平均数大于等于调和平均数，当ab两数相等时，它们相等

经过上面的探究我们得到这样一串不等式

a2+b22−−−−−−√⩾a+b2⩾ab−−√⩾21a+1ba2+b22⩾a+b2⩾ab⩾21a+1b

这个简洁的式子把所有的均值联系在一起，被称为均值不等式

既然是均值，那么我们能把他们扩展到三个数，四个数，甚至于无穷多个数吗？

我们先来尝试三个数的情况，因为一切都是从 a2+b2⩾2aba2+b2⩾2ab 出发，在这里我们验证 a3+b3+c3⩾3abca3+b3+c3⩾3abc

把3abc移到左边，同两元的情况一样，我们尝试因式分解，由其对称性和次数关系，我们得到

a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−bc−ac−ab)=(a+b+c)(a−b)2(b−c)2(c−a)22⩾0a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−bc−ac−ab)=(a+b+c)(a−b)2(b−c)2(c−a)22⩾0

所以 a3+b3+c3⩾3abca3+b3+c3⩾3abc 当且仅当 a=b=ca=b=c 时等号成立，从此出发，我们也可以得到同2元一样的结论

a2+b2+c23−−−−−−√⩾a+b+c3⩾abc−−−√3⩾21a+1b+1ca2+b2+c23⩾a+b+c3⩾abc3⩾21a+1b+1c

如果是4次的，那么我们直接用两次二元即可证得，所以无穷的情形也不难证得了，所以我们得到了这样一个优美的结论

a21+a22+a23...+a2nn−−−−−−−−−−−−−−−−√⩾a21+a22+a23...+a2nn⩾a1a2a3...an−−−−−−−−−−√n⩾21a1+1a2+1a3...+1ana12+a22+a32...+an2n⩾a12+a22+a32...+an2n⩾a1a2a3...ann⩾21a1+1a2+1a3...+1an

而这一切都从 (a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2 开始

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They Said "Look, one of the best attributes of human beings is that they're adaptable; one of the worst attributes of human beings is they are adaptable."

原文地址：http://ozem.pw/archives/690