[OI]Tarjin算法整理

来源：互联网发布：响应式网站知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/16 19:36

Tajin算法由Robert Tarjan提出，他可以在线性时间内帮我们找到有向图中的所有强连通分量。

其实，tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的Dfn值（很绕嘴，往下看你就会明白），Dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则，经过搜索遍历该图（无需回溯）和对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。

数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。
堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。
当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。
当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’在栈中，p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个。
每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。
继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

由于每个顶点只访问过一次，每条边也只访问过一次，我们就可以在O（n+m）的时间内求出有向图的强连通分量。但是，这么做的原因是什么呢？

Tarjan算法的操作原理如下：

Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。
可以证明，当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。
这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。
强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。
如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

具体算法演示下图所示：

代码实现：

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#include<cstdio>
#include<vector>
#define MAXN 100000
structEdge{
intfrom;
intto;
}e[MAXN+1];
typedefintarr[MAXN+1];
arrhead,nxt,stack,DFN,LOW;
boolinstack[MAXN+1];
inttot,index,top,cnum;
std::vector<int>cset[MAXN+1];//存强连通量
inlinevoidlink(intfrom,intto){//连边
e[++tot]=(Edge){from,to};
nxt[tot]=head[from];
head[from]=tot;
}
inlineintmin(inta,intb){
if(a<b)returna;
returnb;
}
voidtarjan(intu){//模拟图中过程
intv;
DFN[u]=index++;
LOW[u]=DFN[u];
stack[++top]=u;//模拟栈
instack[u]=true;
for(inti=head[u];i!=0;i=nxt[i]){
v=e[i].to;
if(DFN[v]==0){
tarjan(v);
LOW[u]=min(LOW[u],DFN[v]);
}elseif(instack[v]){
LOW[u]=min(LOW[u],DFN[v]);
}
}
if(DFN[u]==LOW[u]){//找到强连通量，退栈
cnum++;
do{
v=stack[top--];
instack[v]=false;
cset[cnum].push_back(v);
//printf("%d,",v);
}while(u!=v&&top>0);
}
}
intmain(){
intx=1,y=1,ulimit=0;
scanf("%d%d",&x,&y);
while(x>0&&y>0){
link(x,y);
scanf("%d%d",&x,&y);
ulimit=x>ulimit?x:ulimit;
}
//for(int i=1;i<=ulimit;i++) { printf("{");
tarjan(1);
for(inti=1;i<=cnum;i++){
printf("{");
while(!cset[i].empty()){
printf("%d,",cset[i].back());
cset[i].pop_back();
}
printf("}");
}
//printf("}");};
return0;
}

They Said "Admonish your friends in private, praise them in public."

原文地址：http://ozem.pw/archives/585

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