数据结构颓废计划III-基础线段树

定义与表示方法

线段树是一种二叉树，树中的每一个结点表示了一个区间。
每一个叶子节点表示了一个单位区间。考虑叶子节点，有两种可能：

1 表示为[A,A+1]形式

容易看出，这个线段树是连续的，即在[1,10]这个区间中没有任何的断点。这种形式适合表示一根完整的数轴。

2 表示为[A,A+1)形式

本图出自上古神犇刘汝佳的ppt。Orz

容易看出这种线段树适合维护一个序列，即每个元素都是分立的。

题外话：二叉树的表示方法

对于二叉树，有两种表示方法，一种是用深度优先的先序存储每个节点，然后存储父子关系，另一种是使用完全二叉树的结论，那么以层次标号，即i节点的左子节点为i∗2，右子节点为i∗2+1。

用途与限制

线段树的用途较为多样化。一般的说，在序列上，它可以维护：
1、单点修改，区间求值
2、区间修改，单点求值
3、区间修改，区间求值
在数轴上同理。接下来我们分析它们的原理。

单点修改，区间求值

最简单的线段树

其实不需要太多解释，修改时自底至顶，查询时自顶至底。

例题:序列操作1(squen1.pas/c/cpp)

问题描述

给定一个有n个数的a数组a[1],a[2],…,a[n]。有m个操作，操作分为
两种：
1)给出两个整数l,r，问a[l],…,a[r]这r-l+1个数中的最大数是多少。
2)给出两个整数x,k，把a[x]改为k。

输入

第一行两个整数n,m，第二行起n个整数表示初始时的a数组；
接下来有m行，每行3个整数d,b,c，如果d=1，那么输出a[b]~a[c]中
最大的数；如果d=2，那么将a[b]改为c。

输出

每行一个整数，对应每一个d=1的操作。

样例输入

5 31 2 3 4 51 2 42 3 51 2 4

样例输出

45

来源

市科艺中心练习题

解答

这题是一道裸题，但是有一个奇怪的问题，即按照完全二叉树序存储节点莫名会被卡常数，而且似乎常数不是一般的大。用深度序是可以过这道题的。

代码(被卡常版)

#include <cstring>#include <cstdio>#include <cstdlib>using namespace std;int segment_tree[400001];int N,M;int x;int max( int a , int b ) {    return a>b?a:b; }void update( int i , int l , int r , int a , int x )  {      if(r==l)       {           segment_tree[i]=x;           return ;       }      int mid=(l+r)>>1;      if(a>=l&&a<=mid)          update(i<<1,l,mid,a,x);      else if(a<=r&&a>=mid+1)          update((i<<1)+1,mid+1,r,a,x);      segment_tree[i]=max(segment_tree[i<<1],segment_tree[(i<<1)+1]);      return ;    }int query( int i , int l , int r , int a , int b ) {       int mid=(l+r)>>1;       if(l==r&&a==b)          return segment_tree[i];       else if(a>=l&&b<=mid)          return query(i<<1,l,mid,a,b);       else if(a>=mid+1&&b<=r)          return query((i<<1)+1,mid+1,r,a,b);       else           return max(query(i<<1,l,mid,a,mid),query((i<<1)+1,mid+1,r,mid+1,b)); }inline char read(int &n){    int x = 0, tmp = 1; char c = getchar();    while((c < '0' | c > '9') && c != '-' && c != EOF) c = getchar();    if(c == '-') c = getchar(), tmp = -1;    while(c >= '0' && c <= '9') x *= 10, x += (c - '0'),c = getchar();    n = x*tmp;    return c;}int main() {          memset(segment_tree,0,sizeof(segment_tree));      read(N);      read(M);      for ( int i=1;i<=N;i++)         {            read(x);            update(1,1,N,i,x);         }       int l,r;       for ( int i=1;i<=M;i++)         {             read(x);             read(l);             read(r);             if(x==2)                   update(1,1,N,l,r);             else                   printf("%d\n",query(1,1,N,l,r));         }        return 0; }

代码(AC版)

#include <iostream>#include <cstdio> #define maxn 1000000+1using namespace std;int key[maxn*2],l[maxn*2],r[maxn*2];int a[maxn];int d=0,ql=0,qr=0,root=0,tot=0,i=0,j=0,n=0,m=0;inline char read(int &n){    int x = 0, tmp = 1; char c = getchar();    while((c < '0' | c > '9') && c != '-' && c != EOF) c = getchar();    if(c == '-') c = getchar(), tmp = -1;    while(c >= '0' && c <= '9') x *= 10, x += (c - '0'),c = getchar();    n = x*tmp;    return c;}void update( int x ) {     key[x]=max(key[l[x]],key[r[x]]); }int build(int s,int t) {    int now=0,mid=0;    mid=(s+t)>>1;    tot++;    now=tot;    if(s==t)      {          key[now]=a[s];          return now;       }    l[now]=build(s,mid);    r[now]=build(mid+1,t);    update(now);    return now; }int query(int x,int s,int t) {    int ans=0,mid=0;    if(ql<=s&&t<=qr)        return key[x];    mid=(s+t)>>1;    if(ql<=mid)      ans=query(l[x],s,mid);    else     {        ans=-10000000;}        if(qr>mid)            ans=max(ans,query(r[x],mid+1,t));    return ans; }void insert(int x,int s,int t) {    int mid=0;    if(ql==t&&s==t)     {        key[x]=qr;        return ;      }    mid=(s+t)>>1;    if(ql<=mid)      insert(l[x],s,mid);    else      insert(r[x],mid+1,t);    update(x); }int main() {     read(n);     read(m);     for ( int i=1;i<=n;i++)       read(a[i]);     root=build(1,n);     for ( int i=1;i<=m;i++)      {        read(d),read(ql),read(qr);        if(d==1)           printf("%d\n",query(root,1,n));        else            insert(root,1,n);       }      return 0; }

习题：为什么第一个版本的代码会被蜜汁卡常

区间修改

如果一个一个修改区间内的所有点，那么最坏情况下修改一次的代价为 O(Nlog2N)，算法迅速退化的比平方阶还难看。
考虑到查询要求并没有那么苛刻(否则明显不可做)，那么必定是包含冗余信息的。由这种想法，我们催生出了延迟标记思想(lazy_tag)。

延迟标记

延迟标记的思想，就是我修改的时候只记录我要修改什么，而不真正的去修改什么，而到下一次操作的时候再把修改信息传递到下一级。实践证明，这是一个很好的思想(捂脸)。可以

区间查询和单点查询

其实已经不是难点了。但是区间查询显然难写。单点查询的话只要一层一层把修改信息下推即可。而区间查询时，我们只下推到我们查询到的地方。

例题

CodeVS1081 线段树练习2 区间修改，单点求值

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <iostream>using namespace std;int N;int lazy_tag[400001];int DATA[100001];void update( int i , int l , int r , int st , int en ,  int x )  {        int mid=(l+r)>>1;        if((st==l)&&(en==r))            {               lazy_tag[i]+=x;               return ;            }        if(l==r)          return ;        if(lazy_tag[i]!=0)            {                lazy_tag[i+i]+=lazy_tag[i];                lazy_tag[i+i+1]+=lazy_tag[i];                lazy_tag[i]=0;             }        if(en<=mid)           update( i+i , l , mid , st , en , x );        else if(st>mid)           update( i+i+1 , mid+1, r , st , en , x);        else           {             update(i+i,l,mid,st,mid,x);             update(i+i+1,mid+1,r,mid+1,en,x);           }        return ;  }int GetAns( int i , int l , int r , int x ) {     if(l==r)        return lazy_tag[i]+DATA[l];     if(lazy_tag[i]!=0)         {            lazy_tag[i+i]+=lazy_tag[i];            lazy_tag[i+i+1]+=lazy_tag[i];             lazy_tag[i]=0;        }     int mid=(l+r)>>1;     if(x<=mid)        return GetAns(i+i,l,mid,x);     else if(x>mid)        return GetAns(i+i+1,mid+1,r,x); }int main()  {     scanf("%d",&N);     memset(lazy_tag,0,sizeof(lazy_tag));     for ( int i=1;i<=N;i++)        scanf("%d",&DATA[i]);     int _,__,a,b,x;     scanf("%d",&_);     for ( int i=1;i<=_;i++)      {           scanf("%d",&__);          if(__==1)            {                scanf("%d%d%d",&a,&b,&x);                update(1,1,N,a,b,x);                }          if(__==2)            {                scanf("%d",&x);                printf("%d\n",GetAns(1,1,N,x));            }        }    return 0;  }

CodeVS1082 线段树练习3 区间修改，区间求和

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#define ls (i<<1)#define rs ((i<<1)|1)#define N 200000using namespace std;long long A[N];long long Segment_Tree[4*N+1];//要开4倍long long n,m,a,b,c;int flag;long long size[4*N+1];long long liad[4*N+1];void build(long long i,long long l,long long r){//建树     size[i]=r-l+1;    if(l==r){Segment_Tree[i]=A[l];return;}    int mid=(l+r)>>1;    build(ls,l,mid);    build(rs,mid+1,r);    Segment_Tree[i]=Segment_Tree[rs]+Segment_Tree[ls];    return;}void write(long long i){Segment_Tree[rs]+=liad[i]*size[rs],Segment_Tree[ls]+=liad[i]*size[ls],liad[rs]+=liad[i],liad[ls]+=liad[i],liad[i]=0;}void update(long long L,long long R,long long v,long long i,long long l,long long r){    if(L!=R)write(i);    if(L>=l&&R<=r){Segment_Tree[i]+=v*size[i];liad[i]+=v;return;}    int mid=(R+L)>>1;    if(mid<l)update(mid+1,R,v,rs,l,r);    else if(mid>=r)update(L,mid,v,ls,l,r);        else{            update(L,mid,v,ls,l,r);            update(mid+1,R,v,rs,l,r);         }    Segment_Tree[i]=Segment_Tree[rs]+Segment_Tree[ls];}long long query(long long i,long long L,long long R,long long a,long long b){    if(L!=R)write(i);    if(a<=L&&b>=R)return Segment_Tree[i];    int mid=(L+R)>>1;    if(mid<a)return query(rs,mid+1,R,a,b);    else if(mid>=b)return query(ls,L,mid,a,b);    else return query(ls,L,mid,a,b)+query(rs,mid+1,R,a,b);}int main(){    scanf("%lld",&n);    for(int i=1;i<=n;++i)    scanf("%lld",&A[i]);    build(1,1,n);    scanf("%lld",&m);    for(int i=1;i<=m;i++){        scanf("%d",&flag);        if(flag==1){            scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);            update(1,n,c,1,a,b);        }        else{            scanf("%lld%lld",&a,&b);        printf("%lld\n",query(1,1,n,a,b));        }    }    return 0;}