寻找素数

优化的朴素方法计算n是否为素数：

即从2到n的平方根，对每一个整数判断一次n是否可以被它整除，若有这样的数字，则n为合数，若无这样的数，则n为素数。代码如下：

int is_prime(int);int is_prime(int number) {    int i = 2;    for (; i * i <= number; i++) {        if (number % i == 0)            return 0;    }    return 1;}

埃拉托色尼筛法（The Sieve of Eratoshenes）:

步骤如下：
a>创建一个元素全部都被初始化为1的数组（代表真）。下标为素数的元素值最后会保持为1，而剩下的数组元素最后将被置为0。
b>从数组下标2开始（1不是素数也不是合数），每次处理首先找到一个值为1的数组元素，然后在剩余数组元素中，循环检测数组下标是否是那个值为1的元素的数组下标的倍数，若是，则将其元素值置为0。上述处理结束之后，值仍然为1的数组元素的下标就是素数。
实现如下：

void sieve();void sieve() {    int numbers[SIZE];    int i = 0, k = 2;    for (i = 0; i < SIZE; i++) numbers[i] = 1;    for (k = 2; k < SIZE; k++) {        if (numbers[k] == 0) continue;        for (i = k + 1; i < SIZE; i++) {            if (numbers[i] == 0) continue;            if (i % k == 0) numbers[i] = 0;        }    }    for (i = 2; i < SIZE; i++) if (numbers[i] == 1) printf("%d\n", i);}

结论

可以看出，对于优化的朴素方法，判断数n是否为素数的复杂度上限为O(n1/2)，则在小于n的数中判断其中每个数是否为素数的复杂度上限约为O(n3/2)。而埃拉托色尼筛法对于判断小于n的数中的素数的复杂度上限为O(n)。分析如下：
对于第一次筛选，遍历了n个元素，剩余总共的n/2个元素。接着第二次筛选遍历了n/2个元素，剩余n/6个元素。每次筛选素数 t 的倍数，剩余元素都变成了原来剩余元素个数的 t 分之一。设时间复杂度为T(n)，易知，T(n)<n+n/2+n/4+n/8+...+n/2t，t 为n个数里面素数的个数。即T(n)<n×(1−12t+1)，所以T(n)=O(n)。