[BZOJ1584][Usaco2009 Mar]Cleaning Up 打扫卫生（dp+数学相关优化）

题目描述

传送门

题解

这题n2的暴力非常好想，预处理[l,r]有多少种食物sum(l,r)，然后f(i)=min{f(j)+sum(j+1,i)2}(1<=j<i)
然后利用一点数学知识就有一个非常巧妙的优化
这道题的答案是不会超过n的，所以要想最优的话，枚举的sum(l,r)不能超过n√

预处理pre(i),nxt(i)表示与位置i食物相同的前一个\下一个的位置
pos(j)表示[pos(j)+1,i]一共有j种不同的食物
那么f(i)=min{f(pos(j))+j∗j}(0<=j<=n√)

如何维护pos(j)呢？
记cnt(j)表示[pos(j),i]一共有多少种颜色
当i从i-1转移来时可以通过判断位置i的食物的pre来计算cnt(j)
如果cnt(j)>j即不合法，那么pos(j)要向后移动，直到把某一种颜色在区间中完全删除，这中间可以用nxt来判断

pos(j)单调移动，总时间复杂度O(nn√)

代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;#define N 50005int n,m;int food[N],head[N],pre[N],tail[N],nxt[N],pos[N],cnt[N],f[N];int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&food[i]);    for (int i=1;i<=n;++i) pre[i]=-1,nxt[i]=n+1;    for (int i=n;i>=1;--i)    {        if (head[food[i]]) pre[head[food[i]]]=i;        head[food[i]]=i;    }    for (int i=1;i<=n;++i)    {        if (tail[food[i]]) nxt[tail[food[i]]]=i;        tail[food[i]]=i;    }    memset(f,127,sizeof(f));f[0]=0;    for (int i=1;i<=n;++i)    {        for (int j=1;j*j<=n;++j)            if (pre[i]<=pos[j]) ++cnt[j];        for (int j=1;j*j<=n;++j)            if (cnt[j]>j)            {                ++pos[j];                while (nxt[pos[j]]<=i) ++pos[j];                --cnt[j];            }        for (int j=1;j*j<=n;++j) f[i]=min(f[i],f[pos[j]]+j*j);    }    printf("%d\n",f[n]);}