最长上升子序列(LIS)的一点理解
来源:互联网 发布:淘宝上下架在那里 编辑:程序博客网 时间:2024/06/08 09:55
问题描述
给定n个整数A1,A2,…,An,按从左到右的顺序选出尽量多的整数,组成一个上升子序列。比如从序列1,6,2,3,7,5中,可以选出上升子序列1,2,3,5,也可以选出1,6,7,但前者更长。选出的上升子序列中相邻元素不能相等。
问题分析
设d(i)为以编号i结尾的上升子序列的长度。那么对于上述序列1,6,2,3,7,5来说:
d(1)=1
d(2)=2
d(3)=2(因为2<6,所以子序列为1,2)
d(4)=3(子序列为1,2,3)
d(5)=4(子序列为1,2,3,7)
d(6)=4(子序列为1,2,3,5)
从上述对d(i)值的枚举可以看出,d(i)=max{0,d(j)|j<i,Aj<Ai}+1=max{d(i)}(A为序列),很显然可以看出,当前算法的时间复杂度为O(n^2),那么能不能对这个算法进行优化呢,显然是可以的.
算法优化
假设已经计算得到a,使得d(a)=t,且Aa为d值为t的序列中的最小值,那么在后续的序列中,显然只要找到一个数字编号k,使得Ak>Aa,那么就能满足上升子序列的条件,且这样不会丢失最优解。证明如下:
设d(a)=d(b)=t,且Aa为d值为t的序列中的最小值,那么由假设可知Aa≤Ab,那么在后续序列中,找到一个数字编号k,因为Ak>Aa,但是因为Ak不一定大于Ab,所以如果舍弃Aa,显然可能会舍弃最优解,但如果舍弃Ab,确不一定会丢失最优解。综上,min{j|d(j)=i)为当前选择的最优解.
现在有了上述的结论,那么我可以设g(i)为d值为i的最小状态编号,那么一定有g(1)≤g(2)≤….≤g(n),所以现在只需要根据二分查找,找到一个数字编号k,使得g(k)≥Ai,更新d(i)=k,此时Ai<g(k),而d(i)=k,所以更新g(k)=Ai.代码如下:
for(int i=1;i<=n;i++)
这里写代码片
g[i]=INF;
for(int i=0;i<n;i++){
int k=lower_bound(g+1,g+n+1,A[i]);
d[i]=k;
g[k]=A[i];
}
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